Ta cũng có thể nói rằng, với mỗi ánh xạ tuyến tính $v \in \mathscr{L}(F; \mathscr{L}_s(E; G))$ được liên kết với ánh xạ song tuyến tính $(x, y) \mapsto v(y)(x)$, ta định nghĩa một song ánh tuyến tính từ $\mathscr{L}(F; \mathscr{L}_s(E; G))$ lên không gian vectơ các ánh xạ song tuyến tính liên tục riêng từ $E \times F$ vào $G$.

Một ánh xạ song tuyến tính liên tục riêng từ $E \times F$ vào $G$ không nhất thiết liên tục trên $E \times F$ (III, p. 47, Bài tập 2; xem thêm III, p. 30, và IV, p. 26, Định lý 2).

Khái niệm về một dạng song tuyến tính liên tục riêng rẽ trên một tích $E_1 \times E_2$ của hai không gian lồi địa phương liên hệ trực tiếp với khái niệm về một ánh xạ tuyến tính liên tục khi $E_1$ và $E_2$ được trang bị các tôpô yếu (II, p. 42), Giả sử rằng $(E_1, F_1)$ và $(E_2, F_2)$ là hai cặp không gian vectơ thực (tương ứng phức) ở đối ngẫu tách biệt (loc. cit.); ta gán cho $E_i$ (tương ứng $F_i$) tôpô yếu $\sigma(E_i, F_i)$ (tương ứng $\sigma(F_i, E_i)$) với $i = 1, 2$, và ký hiệu $B(E_1, E_2)$ là không gian vectơ của các dạng song tuyến tính liên tục trên $E_1 \times E_2$. Áp dụng mệnh đề 1 cho trường hợp $G = K$, ta thấy rằng, với mọi dạng song tuyến tính $\Phi \in B(E_1, E_2)$ và mọi $x_2 \in E_2$, ánh xạ $x_1 \mapsto \Phi(x_1, x_2)$ là một dạng tuyến tính liên tục trên $E_1$, do đó (II, p. 43, mệnh đề 3) tồn tại một và chỉ một phần tử $^d\Phi(x_2) \in F_1$ sao cho

với mọi $x_1 \in E_1$ và $x_2 \in E_2$; hơn nữa, ánh xạ $^d\Phi : E_2 \to F_1$ là tuyến tính và liên tục đối với các tôpô (yếu) của $E_2$ và của $F_1$.

Ngược lại, với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục $u : E_2 \to F_1$ ánh xạ $(x_1, x_2) \mapsto \Phi(x_1, x_2) = \langle x_1, u(x_2) \rangle$ là một dạng song tuyến tính liên tục riêng rẽ trên $E_1 \times E_2$, và ta có $u = {}^d \Phi$. Vì vậy ta đã định nghĩa một đẳng cấu $d : \Phi \mapsto {}^d \Phi$ từ $B(E_1, E_2)$ lên $\mathscr{L}(E_2; F_1)$, được gọi là chính tắc. Tương tự, công thức

định nghĩa một đẳng cấu chính tắc $s : \Phi \to {}^s \Phi$ từ $B(E_1, E_2)$ lên $\mathscr{L}(E_1, F_2)$; hiển nhiên ta có biểu đồ giao hoán

trong đó $t$ là đẳng cấu của phép chuyển vị (II, p. 46, mệnh đề 5 và hệ quả). Xét theo định nghĩa các tôpô yếu trên $F_1$ và $F_2$, hiển nhiên rằng khi $B(E_1, E_2)$, $\mathscr{L}(E_1; E_2)$ và $\mathscr{L}(E_2; F_1)$ được trang bị tôpô hội tụ đơn, các đẳng cấu của biểu đồ (3) là các đẳng cấu không gian vectơ tôpô.

Cho $U_n$ (resp. $V_n$) là một dãy cơ bản các lân cận của 0 trong E (resp. F). Nếu H không đều liên tục, thì tồn tại một lân cận W của 0 trong G, đóng, lồi, cân bằng, sao cho với mọi $n$, $H(U_n \times V_n)$ không được chứa trong W. Khi đó tồn tại một dãy các cặp $(x_n, y_n) \in U_n \times V_n$, và một dãy $(u_n)$ gồm các phần tử của H, sao cho $u_n(x_n, y_n) \notin W$. Đặt $p$ là gauge của W. Với mọi $y \in F$ và mọi $u \in H$, ánh xạ $u(., y)$ từ E vào G là liên tục, do đó $p \circ u(., y)$ là một nửa chuẩn liên tục trên E. Mặt khác, với mọi $x \in E$, tập các ánh xạ $u(x, .)$ với $u \in H$ là đều liên tục; vì dãy $(y_n)$ tiến tới 0, nên nó bị chặn, và tập tất cả các $u(x, y_n)$, với $n \geq 0$ và $u \in H$, là bị chặn (III, p. 22, mệnh đề 9). Suy ra rằng hàm $p'(x) = \sup_{\substack{u \in H \\ n \geq 0}} p(u(x, y_n))$ là một nửa chuẩn nửa liên tục dưới (hữu hạn) trên E. Vì E là đầy thùng, nên $p'$ là liên tục (III, p. 24, hệ quả). Vì $(x_n)$ tiến tới 0 trong E, nên $p'(x_n)$ tiến tới 0, do đó ta có $p'(x_n) \leq 1$ nếu $n$ đủ lớn; nhưng khi đó $p(u_n(x_n, y_n)) \leq p'(x_n) \leq 1$, suy ra $u_n(x_n, y_n) \in W$, mâu thuẫn với giả thiết về $u_n, x_n, y_n$.

Thực vậy, mọi không gian Fréchet đều đầy thùng (III, p. 25, hệ quả).

Cho E và F là hai không gian lồi địa phương. Ta dùng ký hiệu $\mathscr{B}(E, F)$ để chỉ không gian các dạng song tuyến tính liên tục trên $E \times F$, với tôpô hội tụ đều trên các tập có dạng $A \times B$, trong đó A (resp. B) bị chặn trong E (resp. F). Công thức

(với $x \in E, y \in F$ và $u \in \mathscr{B}(E, F)$) định nghĩa một ánh xạ tuyến tính đơn ánh liên tục $\phi$ từ $\mathscr{B}(E, F)$ vào $\mathscr{L}_b(E; F'_b)$.

Cho $f \in \mathscr{L}_b(E; F'_b)$. Đặt $u(x, y) = \langle y, f(x) \rangle$ với $x \in E$ và $y \in F$. Dạng song tuyến tính $u$ trên $E \times F$ là liên tục riêng rẽ; theo mệnh đề 2, nó thuộc $\mathscr{B}(E, F)$, và ta có $f = \phi(u)$. Vậy $\phi$ là một song ánh tuyến tính từ $\mathscr{B}(E, F)$ lên $\mathscr{L}_b(E; F'_b)$. Hiển nhiên $\phi$ là song liên tục, do đó suy ra hệ quả 2.

a) Với mọi lân cận W của 0 trong G và mọi tập $M \in \mathfrak{S}$, tồn tại một lân cận V của 0 trong F sao cho $u(M \times V) \subset W$.

b) Với mọi tập $M \in \mathfrak{S}$, ảnh của M qua ánh xạ $x \mapsto u(x, .)$ là một tập con đều liên tục của $\mathscr{L}(F; G)$.

c) Ánh xạ $y \mapsto u(., y)$ từ F vào $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E; G)$ là liên tục.

a) biểu thị rằng $y \mapsto u(., y)$ là liên tục tại điểm 0, do định nghĩa các lân cận của 0 trong $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E; G)$ (III, p. 13); tương tự a) biểu thị rằng ảnh của M qua ánh xạ $x \mapsto u(x, .)$ là đẳng liên tục tại điểm 0 (III, p. 16).

Mệnh đề đầu tiên suy ra từ hệ quả 3 của GT, X, § 2, No. 1. Cho $W$ là một lân cận của 0 trong $G$; theo giả thiết, tồn tại một lân cận $V$ của 0 trong $F$ sao cho $u(M \times V) \subset W$. Vì tồn tại $\lambda \neq 0$ sao cho $\lambda Q \subset V$, ta có $\lambda u(M \times Q) = u(M \times \lambda Q) \subset W$, và điều này chứng minh phần thứ hai của mệnh đề.

Mệnh đề này suy ra ngay từ mệnh đề 2 của GT, X, § 2, No. 1 và mệnh đề 5 của GT, X, § 2, No. 2.

Nói cách khác, ánh xạ tuyến tính $y \mapsto u(., y)$ từ $F$ vào $\mathscr{L}_b(E; G)$ là liên tục.

Đủ (III, p. 30, mệnh đề 3) để chứng minh rằng ảnh của mọi tập con bị chặn $M$ của $E$ qua $x \mapsto u(x, .)$ là đều liên tục trong $\mathscr{L}(F; G)$. Nhưng, nhờ mệnh đề 1 (III, p. 28) ảnh này là một tập con bị chặn đơn của $\mathscr{L}(F; G)$, và vì $F$ là barrelled, mọi tập con bị chặn đơn của $\mathscr{L}(F; G)$ đều đều liên tục (III, p. 25, định lý 1).

1) Nếu $u(E_0 \times F_0) = \{0\}$, thì $u = 0$.

2) Cho $\mathfrak{S}_0$ là một họ các tập con bị chặn của $E_0$; nếu hạn chế của $u$ lên $E_0 \times F_0$ là $\mathfrak{S}_0$*-hypocontinuous thì* $u$ cũng vậy.

1) Theo giả thiết, với mọi $x \in E_0$, ánh xạ tuyến tính liên tục $u(x, .)$ bằng không trên $F_0$, do đó trên $F$: vì vậy với mọi $y \in F$, ánh xạ tuyến tính liên tục $u(., y)$ bằng không trên $E_0$, do đó trên $E$. Điều này chứng tỏ rằng $u = 0$.

2) Với mọi lân cận đóng $W$ của $0$ trong $G$ và với mọi tập hợp $M \in \mathfrak{S}_0$, theo giả thiết, tồn tại một lân cận $V$ của $0$ trong $F_0$ sao cho $u(M \times V) \subset W$. Nhưng $\overline{V}$ là một lân cận của $0$ trong $F$; với mọi $x \in M$, quan hệ $u(\{x\} \times V) \subset W$ suy ra rằng $u(\{x\} \times \overline{V}) \subset W$, vì $u(x, .)$ liên tục và $W$ là đóng; do đó $u(M \times \overline{V}) \subset W$, điều này chứng tỏ rằng $u$ là $\mathfrak{S}_0$*-giả liên tục.

Tính duy nhất và tính nửa liên tục của $\overline{u}$ suy ra từ mệnh đề 7; còn phải chứng minh sự tồn tại của $\overline{u}$. Với mọi $y' \in F_0$, ánh xạ tuyến tính liên tục $x' \mapsto u(x', y')$ từ $E_0$ vào $G$ được mở rộng duy nhất thành một ánh xạ tuyến tính liên tục $x \mapsto u_1(x, y')$ từ $E$ vào $G$ (III, p. 8, mệnh đề 10). Suy ra ngay rằng với mọi $x \in E$, ánh xạ $y' \mapsto u_1(x, y')$ từ $F_0$ vào $G$ là tuyến tính; và ta sẽ chứng minh nó liên tục. Theo giả thiết, tồn tại $M \in \mathfrak{S}_0$, sao cho $x \in \overline{M}$. Với mọi lân cận đóng $W$ của 0 trong $G$, theo giả thiết, tồn tại một lân cận $V$ của 0 trong $F_0$ sao cho $u(M \times V) \subset W$; vì $x \mapsto u_1(x, y')$ là liên tục, ta suy ra rằng $u_1(\overline{M} \times V) \subset W$, và đặc biệt $u_1(x, y') \in W$ với mọi $y' \in V$. Điều này thiết lập mệnh đề của chúng ta. Nhờ mệnh đề 7, ánh xạ song tuyến tính $u_1$ từ $E \times F_0$ vào $G$ là $(\mathfrak{S}_0, \mathfrak{T}_0)$*-nửa liên tục. Ta kết thúc chứng minh bằng cách đổi chỗ vai trò của $E$ và $F$ trong phần đầu của chứng minh, áp dụng cho $u_1$.

Trước hết ta chứng minh rằng $(u, v) \mapsto v \circ u$ là $\mathfrak{T}$-nửa liên tục. Cho H là một tập đẳng liên tục trong $\mathscr{L}(S; T)$, cho W là một lân cận của 0 trong T và cho M là một tập con hữu hạn (resp. compact, bị chặn) của R. Ta phải chứng minh rằng tồn tại một lân cận V của 0 trong S sao cho nếu $u(M) \subset V$ và $v \in H$, thì $v(u(M)) \subset W$. Nhưng để làm điều này, chỉ cần có $v(V) \subset W$ với mọi $v \in H$, và sự tồn tại của một lân cận như vậy suy ra từ tính đẳng liên tục của H.

Để thấy rằng $(u, v) \mapsto v \circ u$ là $S$-hypocontinuous, ta sẽ chứng minh rằng, với mọi lân cận W của 0 trong T, mọi tập con hữu hạn (tương ứng compact, bị chặn) M của R và mọi tập con hữu hạn (tương ứng compact, bị chặn) L của $\mathscr{L}(R; S)$ tồn tại một tập con hữu hạn (tương ứng compact, bị chặn) N của S sao cho các quan hệ $v(N) \subset W$ và $u \in L$ kéo theo $v(u(M)) \subset W$. Hiển nhiên chỉ cần chỉ ra rằng ta có thể lấy $N = \bigcup_{u \in L} u(M)$, tức là tập N là hữu hạn (tương ứng compact, bị chặn) bất cứ khi nào L và M như vậy. Điều này là hiển nhiên nếu L và M hữu hạn, hoặc nếu M bị chặn trong R và L bị chặn trong $\mathscr{L}(R; S)$ (đối với tôpô của hội tụ bị chặn, xem III, p. 22). Cuối cùng, ta chứng minh rằng nếu M là compact trong R và L là compact trong $\mathscr{L}(R; S)$ đối với tôpô của hội tụ compact, thì N là compact trong S. Nhưng nếu $u_M$ là hạn chế trên M của $u \in L$, thì ánh xạ $u \mapsto u_M$ từ L vào không gian $\mathscr{C}(M; S)$ của mọi ánh xạ liên tục từ M vào S, với tôpô của hội tụ đều, là liên tục; do đó ảnh của L qua ánh xạ này là compact, và mệnh đề của chúng ta suy ra từ tính liên tục của ánh xạ $(w, x) \mapsto w(x)$ từ $\mathscr{C}(M; S) \times M$ vào S (GT, X, § 1, No. 6, mệnh đề 9).

Trong hai hệ quả sau đây, ta giả sử như trong mệnh đề 9, rằng các không gian $\mathscr{L}(R; S)$, $\mathscr{L}(S; T)$, $\mathscr{L}(R; T)$ đều được trang bị hoặc cả ba tôpô của hội tụ đơn, hoặc cả ba tôpô của hội tụ compact, hoặc cả ba tôpô của hội tụ bị chặn.

Điều này suy ra ngay từ mệnh đề 9 (III, p. 32) và 4 (III, p. 31).

Thật vậy, dãy $(v_n)$, vì chỉ bị chặn trong $\mathscr{L}(S; T)$, là đều liên tục, bởi S là barrelled (III, p. 25, định lý 1); do đó hệ quả này suy ra từ hệ quả 1.