Exercice 13, § 5

Soient E, F, G trois espaces vectoriels topologiques, $\mathscr{S}$ (resp. $\mathscr{T}$) un ensemble de parties bornées de E (resp. F). Soit H l’espace vectoriel des applications bilinéaires $\mathscr{T}\text{-hypocontinues}$ de $E \times F$ dans G. a) Montrer que sur H la topologie de la convergence uniforme dans les ensembles de la forme $M \times N$, où $M \in \mathscr{S}$ et $N \in \mathscr{T}$, est compatible avec la structure d’espace vectoriel ; on dit que cette topologie est la $(\mathscr{S}, \mathscr{T})\text{-topologie}$ sur H. Pour toute application $u \in H$, soit $\tilde{u}$ l’application continue $x \mapsto u(x, .)$ de E dans $\mathscr{L}_\mathscr{T}(F; G)$. Montrer que $u \mapsto \tilde{u}$ est un isomorphisme de l’espace H, muni de la $(\mathscr{S}, \mathscr{T})\text{-topologie}$, sur l’espace $\mathscr{L}_\mathscr{S}(E; \mathscr{L}_\mathscr{T}(F; G))$. b) Soit L une partie de H, telle que, pour tout couple $(x, y) \in E \times F$, l’ensemble des $u(x, y)$, où $u$ parcourt L, soit borné dans G (partie simplement bornée de H). Montrer que, si E, F, G sont localement convexes, et si E et F sont séparés et quasi-complets, L est bornée dans H pour toute $(\mathscr{S}, \mathscr{T})\text{-topologie}$. c) Soient E, F, G trois espaces localement convexes séparés. Si E est tonnelé et F quasi-complet ou tonnelé, toute partie simplement bornée L de H est $\mathscr{T}\text{-équihypocontinue}$ (III, p. 49, exerc. 7). d) Si E et F sont tonnelés, et G quasi-complet, et si $\mathscr{S}$ et $\mathscr{T}$ sont des recouvrements de E et F respectivement, H est séparé et quasi-complet pour la $(\mathscr{S}, \mathscr{T})\text{-topologie}$.