Bài tập 13, § 5

Cho E, F, G là ba không gian vectơ tôpô, và S (tương ứng T) là một họ các tập con bị chặn của E (tương ứng F). Cho H là không gian vectơ gồm các ánh xạ song tuyến tính T-hypoliên tục từ E × F vào G. a) Chứng minh rằng trên H tôpô hội tụ đều trên các tập có dạng M × N, trong đó M ∈ S và N ∈ T là tương thích với cấu trúc không gian vectơ; tôpô này được gọi là tôpô (S, T) trên H. Với mọi ánh xạ u ∈ H, gọi ũ là ánh xạ liên tục x ↦ u(x, .) từ E vào L_T(F ; G). Chứng minh rằng u ↦ ũ là một đẳng cấu từ không gian H, được trang bị tôpô (S, T), lên không gian L_S(E ; L_T(F ; G)). b) Cho L là một tập con của H sao cho, với mọi cặp (x, y) ∈ E × F, tập hợp tất cả các u(x, y), trong đó u chạy qua L, là bị chặn trong G (tập con bị chặn đơn giản của H). Chứng minh rằng, nếu E, F, G là địa phương lồi, và nếu E và F là Hausdorff và gần đầy đủ, thì L bị chặn trong H đối với tôpô (S, T). c) Cho E, F, G là ba không gian vectơ địa phương lồi Hausdorff. Nếu E là thùng và F gần đầy đủ hoặc thùng, thì mọi tập con bị chặn đơn giản L của H là T-đồng-hypoliên tục (III, p. 47, exerc. 7). d) Nếu E và F là thùng, và G gần đầy đủ, và nếu S và T lần lượt là các phủ của E và F, thì H là Hausdorff và gần đầy đủ đối với tôpô (S, T).