Exercice 14, § 5

Étendre les définitions et résultats du § 5 aux applications multilinéaires quelconques. Soient E, F, G trois espaces vectoriels topologiques, $\mathscr{S}$ (resp. $\mathfrak{T}$) un ensemble de parties bornées de E (resp. F), $\mathscr{U}$ un ensemble de parties bornées de l’espace $\mathscr{L}_{\mathscr{S},\mathfrak{T}}(E, F ; G)$ des applications bilinéaires ($\mathscr{S}, \mathfrak{T}$)-hypocontinues de E $\times$ F dans G, muni de la ($\mathscr{S}, \mathfrak{T}$)-topologie (exerc. 13). Montrer que l’application trilinéaire $(x, y, u) \mapsto u(x, y)$ de $E \times F \times \mathscr{L}_{\mathscr{S},\mathfrak{T}}(E, F ; G)$ dans G est ($\mathscr{S}, \mathfrak{T}$)-hypocontinue ; pour qu’elle soit ($\mathscr{S}, \mathscr{U}$)-hypocontinue, il faut et il suffit que tout ensemble $L \in \mathscr{U}$ soit $\mathscr{S}$-équihypocontinu (III, p. 49, exerc. 7).