Exercice 15, § 5

Soit E l’espace des suites $x = (\xi_n)_{n \geqslant 0}$ de nombres réels, telles que la série de terme général $\xi_n$ soit convergente. On pose $\|x\| = \sup \left| \sum_{k=0}^n \xi_k \right|$.

a) Montrer que $\|x\|$ est une norme sur E, et que E est complet pour cette norme. b) Montrer que l’espace vectoriel $\ell^1(\mathbf{N})$ (I, p. 4), considéré comme sous-espace de E, est partout dense (pour la topologie de E) ; la topologie définie par la norme $\|x\|_1 = \sum_{n=0}^\infty |\xi_n|$ sur $\ell^1(\mathbf{N})$ est strictement plus fine que la topologie induite par celle de E. c) Soit $(P_n)$ une suite croissante de parties finies de $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$ formant un recouvrement de $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$. Pour tout $x = (\xi_n) \in E$ et tout $y = (\eta_n) \in \ell^1(\mathbf{N})$, soit $f_n(x, y) = \sum_{(i,j) \in P_n} \xi_i \eta_j$. Pour que la suite $(f_n(x, y))$ tende vers une limite pour tout couple $(x, y) \in E \times \ell^1(\mathbf{N})$, il faut et il suffit que, pour chacun de ces couples $(x, y)$, la suite $(f_n(x, y))$ soit bornée ; la limite de $f_n(x, y)$ est alors égale à $\left( \sum_{n=0}^\infty \xi_n \right) \left( \sum_{n=0}^\infty \eta_n \right)$. (En utilisant l’exerc. 13, c) de III, p. 49, montrer que la suite de formes bilinéaires $(f_n)$ est équicontinue, et remarquer qu’elle converge dans le sous-espace $\ell^1(\mathbf{N}) \times \ell^1(\mathbf{N})$; conclure en utilisant b).) d) Pour tout $j \in \mathbf{N}$, soit $\rho_{jn}$ le plus petit nombre d’intervalles fermés de $\mathbf{N}$ dont la coupe de $P_n$ pour la valeur $j$ de la seconde coordonnée (projection de $P_n \cap (\mathbf{N} \times \{j\})$) soit la réunion ; soit $\rho_n = \sup_{j \in \mathbf{N}} \rho_{jn}$. Montrer que la condition obtenue dans c) est équivalente à $\sup_n \rho_n < +\infty$. (Si $\varphi_n$ est la fonction caractéristique de $P_n$, montrer que la norme de la forme bilinéaire $f_n$ est $\sup_{j \in \mathbf{N}} \left( \sum_{i=0}^\infty |\varphi_n(i, j) - \varphi_n(i+1, j)| \right)$.)