Bài tập 15, § 5

Cho E là không gian gồm tất cả các dãy x = (\xi_n)_{n \geq 0} các số thực sao cho chuỗi có số hạng tổng quát \xi_n là hội tụ. Đặt \| x \| = \sup_n | \sum_{k=0}^n \xi_k |.

a) Chứng minh rằng \| x \| là một chuẩn trên E, và E là đầy đủ đối với chuẩn này. b) Chứng minh rằng không gian vectơ \ell^1(\mathbf{N}) (I, p. 4), được xem như một không gian con của E, là trù mật khắp nơi (đối với tôpô của E); tôpô trên \ell^1(\mathbf{N}) được xác định bởi chuẩn $\| x \|_1 = \sum_{n=0}^\infty | \xi_n |$ là thực sự mịn hơn tôpô cảm sinh bởi tôpô của E. c) Cho (P_n) là một dãy tăng các tập con hữu hạn của \mathbf{N} \times \mathbf{N} tạo thành một phủ của \mathbf{N} \times \mathbf{N}. Với mọi x = (\xi_n) \in E và mọi y = (\eta_n) \in \ell^1(\mathbf{N}), đặt $f_n(x, y) = \sum_{(i,j) \in P_n} \xi_i \eta_j$. Khi đó dãy (f_n(x, y)) tiến tới một giới hạn đối với mọi cặp (x, y) \in E \times \ell^1(\mathbf{N}) khi và chỉ khi đối với mỗi cặp này (x, y), dãy (f_n(x, y)) bị chặn; khi đó giới hạn của f_n(x, y) bằng $(\sum_{n=0}^\infty \xi_n) (\sum_{n=0}^\infty \eta_n)$.

(Dùng exerc. 13, c) của III, p. 48, chứng minh rằng dãy các dạng song tuyến tính $(f_n)$ là liên tục đều, và nhận xét rằng nó hội tụ trong không gian con $l^1(\mathbf{N}) \times l^1(\mathbf{N})$; kết luận lập luận bằng cách dùng b).) d) Với mỗi $j \in \mathbf{N}$, cho $\rho_{jn}$ là số nhỏ nhất các khoảng đóng của $\mathbf{N}$ mà hợp của chúng là phép chiếu của $P_n \cap (\mathbf{N} \times \{j\})$ lên $\mathbf{N}$; đặt $\rho_n = \sup_{j \in \mathbf{N}} \rho_{jn}$. Chứng minh rằng điều kiện thu được trong c) là tương đương với $\sup_n \rho_n < +\infty$. (Nếu $\phi_n$ là hàm đặc trưng của $P_n$, chứng minh rằng chuẩn của dạng song tuyến tính $f_n$ là $\sup_{j \in \mathbf{N}} (\sum_{i=0}^\infty |\rho_n(i, j) - \phi_n(i+1, j)|)$.)