Exercice 2, § 5

Soit $E$ l’espace somme directe $\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}$, muni de la topologie induite par la topologie produit sur $\mathbf{R}^{\mathbf{N}}$. Montrer que, sur $E \times E$, la forme bilinéaire $((x_n), (y_n)) \mapsto \sum_{n=0}^{\infty} x_n y_n$ est séparément continue, mais que, pour tout ensemble $\mathscr{S}$ de parties bornées de $E$ contenant au moins un ensemble borné de dimension infinie, cette forme bilinéaire n’est pas $\mathscr{S}$-hypocontinue.