Exercice 3, § 5

Soit $E$ l’espace $\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}$ muni de la topologie localement convexe la plus fine (II, p. 27); soit $F$ l’espace $\mathbf{R}^{\mathbf{N}}$; $E$ est ultrabornologique (III, p. 47, exerc. 19) et complet, $F$ est métrisable et complet. Soit $\mathscr{S}$ (resp. $\mathfrak{T}$) l’ensemble de toutes les parties bornées de $E$ (resp. $F$). Montrer que, sur $E \times F$, la forme bilinéaire $((x_n), (y_n)) \mapsto \sum_{n=0}^{\infty} x_n y_n$ est $(\mathscr{S}, \mathfrak{T})$-hypocontinue, mais n’est pas continue ($cf.$ IV, p. 49, exerc. 11).