Bài tập 3, § 5

Cho E là không gian $\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}$ với tôpô lồi địa phương mịn nhất (II, p. 26); cho F là không gian $\mathbf{R}^{\mathbf{N}}$; không gian E là siêu bornological (III, p. 45, exerc. 19) và đầy đủ, trong khi F mêtric hóa được và đầy đủ. Cho $\mathscr{S}$ (tương ứng $\mathfrak{T}$) là tập hợp tất cả các tập con bị chặn của E (tương ứng F). Chứng minh rằng dạng song tuyến tính $((x_n), (y_n)) \mapsto \sum_{n=0}^{\infty} x_n y_n$ trên $E \times F$ là $(\mathscr{S}, \mathfrak{T})$-giả liên tục, nhưng không liên tục ($cf.$ IV, p. 48, exerc. 11).