Exercice 5, § 5

a) Soient $E, F, G$ trois espaces localement convexes séparés, $u$ une application bilinéaire de $E \times F$ dans $G$. Pour qu’il existe un voisinage équilibré $U$ de $0$ dans $E$ tel que l’ensemble des applications $u(x, .)$, où $x$ parcourt $U$, soit équicontinu dans $\mathscr{L}(F; G)$, il faut et il suffit que $u$ soit continue lorsqu’on remplace la topologie de $E$ par la topologie moins fine pour laquelle les ensembles $\lambda U$ ($\lambda \neq 0$) forment un système fondamental de voisinages de $0$. Montrer que, si $G$ est normé, cette condition est satisfaite par toute application bilinéaire continue de $E \times F$ dans $G$.

b) On prend pour $E, F$ et $G$ l’espace produit $\mathbf{R}^{\mathbf{N}}$, et pour $u$ l’application bilinéaire continue $((x_n), (y_n)) \mapsto (x_n y_n)$. Montrer qu’il n’existe aucun voisinage $U$ de $0$ dans $E$ tel que l’ensemble des applications $u(x, .)$, où $x$ parcourt $U$, soit équicontinu dans $\mathscr{L}(F; G)$.