Bài tập 5, § 5

(a) Cho E, F và G là ba không gian lồi địa phương Hausdorff, và $u$ là một ánh xạ song tuyến tính từ $E \times F$ vào G. Để tồn tại một lân cận cân bằng U của 0 trong E sao cho tập hợp tất cả các ánh xạ $u(x, .)$, trong đó x chạy qua U, là đều liên tục trong $\mathscr{L}(F; G)$, điều kiện cần và đủ là $u$ liên tục khi ta thay thế tôpô của E bởi tôpô thô nhất sao cho các tập hợp $\lambda U$ ($\lambda \neq 0$) tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 0. Chứng minh rằng nếu G là chuẩn hóa, thì điều kiện này được thỏa mãn bởi mọi ánh xạ song tuyến tính liên tục từ $E \times F$ vào G. b) Lấy E, F và G là không gian tích $\mathbf{R}^{\mathbf{N}}$, và lấy $u$ là ánh xạ song tuyến tính liên tục $((x_n), (y_n)) \mapsto (x_n y_n)$. Chứng minh rằng không tồn tại lân cận nào U của 0 trong E sao cho tập hợp các ánh xạ $u(x, .)$, trong đó x chạy qua U, là đều liên tục trong $\mathscr{L}(F; G)$.