Exercice 6, § 5

Soient $E, F, G$ trois espaces vectoriels topologiques. On dit qu’un ensemble $H$ d’applications bilinéaires de $E \times F$ dans $G$ est séparément équicontinu si, pour tout $x \in E$, l’ensemble des applications linéaires $u(x, .)$ où $u$ parcourt $H$, est équicontinu dans $\mathscr{L}(F; G)$ et si, pour tout $y \in F$, l’ensemble des applications linéaires $u(. , y)$, où $u$ parcourt $H$, est équicontinu dans $\mathscr{L}(E; G)$.

On suppose que $F$ est métrisable, et que $E$ est un espace de Baire ($cf.$ III, p. 44, exerc. 5 et V, p. 78, exerc. 15). Montrer que tout ensemble séparément équicontinu d’applications bilinéaires de $E \times F$ dans $G$ est équicontinu ($cf.$ III, p. 44, exerc. 11).