Bài tập 6, § 5

Cho E, F và G là ba không gian vectơ tôpô. Một tập hợp H các ánh xạ song tuyến tính từ $E \times F$ vào G được gọi là tách biệt liên tục đều nếu với mọi $x \in E$, tập hợp các ánh xạ tuyến tính $u(x, .)$, trong đó $u$ chạy qua H, là liên tục đều trong $\mathscr{L}(F; G)$ và nếu với mọi $y \in F$, tập hợp các ánh xạ tuyến tính $u(., y)$, trong đó $u$ chạy qua H, là liên tục đều trong $\mathscr{L}(E; G)$. Giả sử rằng F là mêtric hóa được, và E là một không gian Baire ($cf.$ III, p. 43, exerc. 5 và V, p. 79, exerc. 15). Chứng minh rằng mọi tập hợp các ánh xạ song tuyến tính từ $E \times F$ vào G tách biệt liên tục đều thì liên tục đều ($cf.$ III, p. 42, exerc. 11).