Exercice 7, § 5

Soient E, F, G trois espaces vectoriels topologiques, $\mathscr{S}$ un ensemble de parties bornées de E, H un ensemble d’applications bilinéaires séparément continues de $E \times F$ dans G. Les propriétés suivantes sont équivalentes : α) Pour tout voisinage W de 0 dans G et tout ensemble $M \in \mathscr{S}$, il existe un voisinage V de 0 dans F tel que $u(M \times V) \subset W$ pour tout $u \in H$. β) Pour tout ensemble $M \in \mathscr{S}$, l’image de $H \times M$ par l’application $(u, x) \mapsto u(x, .)$ est une partie équicontinue de $\mathscr{L}(F; G)$. γ) Lorsque $u$ parcourt H, l’ensemble des applications $y \mapsto u(., y)$ de F dans $\mathscr{L}_\mathscr{S}(E; G)$ est équicontinu. On dit alors que H est un ensemble $\mathscr{S}\text{-équihypocontinu}$ d’applications bilinéaires (séparément continues) de $E \times F$ dans G. Pour un ensemble $\mathscr{T}$ de parties bornées de F, on définit de même les notions d’ensemble $\mathscr{T}\text{-équihypocontinu}$ et d’ensemble $(\mathscr{S}, \mathscr{T})\text{-équihypocontinu}$.