Bài tập 7, § 5

Cho E, F và G là ba không gian vectơ tôpô, $\mathscr{S}$ là một tập hợp các tập con bị chặn của E, và H là một tập hợp các ánh xạ song tuyến tính liên tục riêng từ $E \times F$ vào G. Các tính chất sau là tương đương : $\alpha)$ Với mọi lân cận W của 0 trong G và mọi tập hợp $M \in \mathscr{S}$, tồn tại một lân cận V của 0 trong F sao cho $u(M \times V) \subset W$ với mọi $u \in H$. $\beta)$ Với mọi tập hợp $M \in \mathscr{S}$, ảnh của $H \times M$ qua ánh xạ $(u, x) \mapsto u(x, .)$ là một tập con liên tục đều của $\mathscr{L}(F; G)$. $\gamma)$ Khi u chạy qua H, tập hợp các ánh xạ $y \mapsto u(., y)$ từ F vào $\mathscr{L}_{\mathscr{S}}(E; G)$ là liên tục đều. Ta nói khi đó rằng H là một tập hợp $\mathscr{S}$-đẳng liên tục yếu của các ánh xạ song tuyến tính (liên tục riêng) từ $E \times F$ vào G. Tương tự, với một tập hợp $\mathfrak{T}$ các tập con bị chặn của F, ta định nghĩa các khái niệm tập hợp $\mathfrak{T}$-đẳng liên tục yếu và tập hợp $(\mathscr{S}, \mathfrak{T})$-đẳng liên tục yếu.