Exercice 2, § 6

Soient** $E$ un espace localement convexe qui est un espace de Baire, $F$ un espace localement convexe exhaustible (exerc. 1), et $(C_n, p_n, \varphi_n)$ une exhaustion de $F$. a) Soit $u$ une application linéaire de $E$ dans $F$ et soit $W$ un ensemble convexe, équilibré et absorbant dans $F$. Montrer qu’il existe une suite $(c_k)$ telle que $c_k \in C_k$, $c_k = p_k(c_{k+1})$ pour tout $k \geq 0$, et une suite $(m_k)$ d’entiers $> 0$, telles que chacun des ensembles $u^{-1}(\varphi_k(c_k) \cap m_k W)$ (qu’on notera $M_k$) soit non maigre dans $E$. Montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une suite $(v_k)$ de nombres $> 0$ tels que si la suite $(x_k)_{k \geq 1}$ de points de $E$ est telle que $x_k \in v_k M_k$ pour tout $k \geq 1$, la série $\sum_{k=1}^\infty u(x_k)$ converge dans $F$ et que sa somme appartienne à $\varepsilon W$. b) On suppose en outre que $E$ est métrisable et que le graphe de $u$ dans $E \times F$ est fermé. Montrer que pour tout $\varepsilon > 0$, on a $\overline{u^{-1}(W)} \subset (1 + \varepsilon) u^{-1}(W)$. (Observer que si $(U_k)$ est un système fondamental dénombrable de voisinages de $0$ dans $E$, pour tout $k$ il existe un voisinage convexe équilibré $V_k$ de $0$ dans $E$ tel que $V_k \subset U_k \cap v_k \overline{M}_k$. Pour tout point $a \in \overline{u^{-1}(W)}$, déterminer une suite $(x_k)_{k \geq 0}$ telle que $x_0 \in u^{-1}(W)$, $x_k \in v_k M_k$ pour $k \geq 1$ et $a - \sum_{j=0}^k x_j \in V_k$ pour tout $k \geq 1$, puis appliquer $a$).) c) Déduire de $b$ que si $E$ est un espace de Baire métrisable, toute application linéaire de $E$ dans $F$ dont le graphe est fermé est continue.