Soit $P_n$ le noyau de $u_n$; alors $u_n$ définit par passage au quotient une application bijective continue de $E_n/P_n$ sur $u_n(E_n)$. Comme $E_n/P_n$ est un espace de Fréchet de type dénombrable (TG, IX, p. 25), donc polonais (TG, IX, p. 57, déf. 1), $u_n(E_n)$ est un sous-espace lusinien de E (TG, IX, p. 62, prop. 11). En vertu de TG, IX, p. 68, cor. du th. 3, l’espace E, qui est régulier (TG, III, p. 20), est donc lusinien.

L’espace E est bornologique (III, p. 12), donc l’espace $\mathscr{L}_c(E; F)$ est complet (III, p. 23, prop. 12). L’application linéaire $j : f \mapsto (f|E_n)_{n \in \mathbf{N}}$ est une injection de $\mathscr{L}_c(E; F)$ dans l’espace produit $\prod_{n \in \mathbf{N}} \mathscr{L}_c(E_n; F)$; en vertu de l’hypothèse sur les parties compactes de E et de la définition des $\mathfrak{S}$-topologies, j est un isomorphisme de $\mathscr{L}_c(E; F)$ sur son image (munie de la topologie induite par la topologie produit); en outre, puisque $\mathscr{L}_c(E; F)$ est complet, cette image est un sous-espace fermé de $\prod_{n \in \mathbf{N}} \mathscr{L}_c(E_n; F)$ (TG, II, p. 16, prop. 8). D’après TG, IX, p. 62, il suffit donc de prouver que chacun des espaces $\mathscr{L}_c(E_n; F)$ est lusinien. Pour la suite de la démonstration, on supposera donc que E est un espace de Fréchet de type dénombrable.

Comme F est un espace de Fréchet de type dénombrable, il est isomorphe à un sous-espace fermé d’un produit dénombrable d’espaces de Banach $F_n$, dont chacun est un quotient de F (II, p. 5), donc de type dénombrable. L’application linéaire $j' : f \mapsto (\mathrm{pr}_n \circ f)_{n \in \mathbf{N}}$ est une injection de $\mathscr{L}_c(E; F)$ dans l’espace produit $\prod_{n \in \mathbf{N}} \mathscr{L}_c(E; F_n)$, et en vertu de la définition des $\mathfrak{S}$-topologies et des ouverts dans un produit, $j'$ est un isomorphisme de $\mathscr{L}_c(E; F)$ sur son image; en outre, puisque $\mathscr{L}_c(E; F)$ est complet, cette image est un sous-espace fermé de $\prod_{n \in \mathbf{N}} \mathscr{L}_c(E; F_n)$. Il suffira donc de prouver que chacun des $\mathscr{L}_c(E; F_n)$ est lusinien (TG, IX, p. 62), et on peut par suite supposer que F est un espace de Banach de type dénombrable.

L’espace $\mathscr{L}_c(E; F)$ est alors réunion d’une famille dénombrable de parties équicontinues et fermées (III, p. 19, cor. 1 et TG, X, p. 15, prop. 6). Or toute partie équicontinue H de $\mathscr{L}_c(E; F)$ est métrisable de type dénombrable (III, p. 18, prop. 6 et TG, X, p. 16, th. 1); si H est fermée, c’est un espace complet pour la structure uniforme induite par celle de $\mathscr{L}_c(E; F)$, puisque ce dernier est complet. Autrement dit, H est un espace polonais, et a fortiori lusinien ; par suite l’espace régulier $\mathscr{L}_c(E; F)$ est lusinien (TG, IX, p. 68, cor. du th. 3).

\* Exemple 2. — Soit U une partie ouverte de $\mathbf{R}^n$. Le corollaire s’applique en particulier à l’espace de Fréchet $E = \mathscr{C}^\infty(U)$; son dual $\mathscr{C}_o^{-\infty}(U)$ (espace des distributions à support compact sur U) est donc un espace lusinien.

L’espace $\mathscr{C}_o^\infty(U)$ est limite inductive stricte d’une suite d’espaces de Fréchet $\mathscr{C}_{K_n}^\infty(U)$ de type dénombrable (III, p. 9). On peut montrer que chacun des espaces $\mathscr{C}_{K_n}^\infty(U)$ est un espace de Montel ; de plus, toute partie bornée de $\mathscr{C}_o^\infty(U)$ est contenue dans l’un des espaces $\mathscr{C}_{K_n}^\infty(U)$ (III, p. 5, prop. 6). On peut donc appliquer le corollaire du th. 2. Le dual $\mathscr{C}^{-\infty}(U)$ de $\mathscr{C}_o^\infty(U)$ (espace des distributions sur U) est donc lusinien pour la topologie forte.

On prouve de même que pour toute partie ouverte U de $\mathbf{C}^n$, et toute partie compacte K de $\mathbf{C}^n$, le dual fort de $\mathscr{H}(U)$ et le dual fort de $\mathscr{H}(K)$ sont lusiniens. \*

Supposons tout d’abord que F est le corps de base. Pour tout compact X de E et toute mesure $\mu$ sur X, la restriction de u à X est $\mu$-mesurable (INT, IV). Supposons que u ne soit pas continue. On peut alors trouver une suite de points $(x_n)$ de E telle que $\sum_n \|x_n\| < \infty$ et $|u(x_n)| \geq n$ pour tout entier n. Considérons l’application

¹ Les résultats de ce numéro dépendent du livre d’Intégration.

g : (t_n) \mapsto \sum_n t_n x_n du cube C = \{0, 1\}^\mathbf{N} dans E ; il est clair que g est continue. Par suite f = u \circ g est mesurable pour toute mesure sur C (INT, V), en particulier pour la mesure $\mu$ produit des mesures de Lebesgue sur les facteurs de C. Il existe donc une partie compacte D de C telle que $\mu(D) > \frac{1}{2}$ et que la restriction de f à D soit continue, donc bornée. Soit M la borne supérieure de $|f|$ sur D et soit $p \in \mathbf{N}$ tel que $p \geq 4M$. Soient $s = (s_n)$ et $t = (t_n)$ deux points de D tels que $s_n = t_n$ pour $n \neq p$. On a

Comme $|f(s) - f(t)| \leq 2M$ et $|u(x_p)| \geq p \geq 4M$, on en déduit

Le th. de Lebesgue-Fubini (INT, V, 2e éd., § 8, no 3, cor. 2 de la prop. 7) entraîne alors $\mu(D) \leq \frac{1}{2}$, d’où une contradiction. Par suite, $u$ est bien continue.

Passons maintenant au cas général. Pour tout $v \in F'$, la forme linéaire $v \circ u$ est continue d’après ce qui précède. Soit $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une suite de points de E tendant vers 0 ; la suite $(u(x_n))_{n \in \mathbf{N}}$ tend alors vers 0 dans F muni de la topologie $\sigma(F, F')$ ; elle est donc bornée pour $\sigma(F, F')$ et par suite elle est bornée dans F (III, p. 28, cor. 3). Comme E est bornologique (III, p. 12, prop. 2), l’application linéaire $u : E \to F$ est continue.

Exercises