Bài tập 2, § 6

Cho $E$ là một không gian lồi địa phương là một không gian Baire, $F$ là một không gian lồi địa phương khai triển được (Bài tập 1), và $(C_n, p_n, \phi_n)$ là một sự vét cạn của $F$. a) Cho $u$ là một ánh xạ tuyến tính từ $E$ vào $F$ và cho $W$ là một tập lồi, cân bằng và hấp thụ trong $F$. Chứng minh rằng tồn tại một dãy $(c_k)$ sao cho $c_k \in C_k$, $c_k = p_k(c_{k+1})$ với mọi $k \geq 0$, và một dãy $(m_k)$ các số nguyên $> 0$, sao cho mỗi tập $u^{-1}(\phi_k(c_k) \cap m_k W)$ (được ký hiệu là $M_k$) không là một tập mỏng trong $E$. Chứng minh rằng với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một dãy $(v_k)$ các số $> 0$ sao cho nếu dãy $(x_k)_{k \geq 1}$ các điểm của $E$ thỏa mãn $x_k \in v_k M_k$ với mọi $k \geq 1$, thì chuỗi $\sum_{k=1}^\infty u(x_k)$ hội tụ trong $F$ và tổng của nó thuộc về $\varepsilon W$. b) Giả sử thêm rằng $E$ là mêtric hóa được và đồ thị của $u$ trong $E \times F$ là đóng. Chứng minh rằng với mọi $\varepsilon > 0$, ta có $u^{-1}(W) \subset (1+\varepsilon) u^{-1}(W)$. (Nhận xét rằng nếu $(U_k)$ là một hệ cơ bản đếm được các lân cận của $0$ trong $E$, thì với mọi $k$ tồn tại một lân cận lồi cân bằng $V_k$ của $0$ trong $E$ sao cho $V_k \subset U_k \cap v_k \overline{M}_k$. Với mỗi điểm $a \in u^{-1}(W)$, hãy tìm một dãy $(x_k)_{k \geq 0}$ sao cho $x_0 \in u^{-1}(W)$, $x_k \in v_k M_k$ với $k \geq 1$ và $a - \sum_{j=0}^k x_j \in V_k$ với mọi $k \geq 1$, sau đó áp dụng a).)

c) Suy ra từ b) rằng nếu E là một không gian Baire mêtric hóa được, thì mọi ánh xạ tuyến tính từ E vào F có đồ thị đóng đều liên tục.