Exercice 1, Annexe 0

Soient E un espace localement convexe séparé, K une partie convexe et compacte de E, S un ensemble de transformations linéaires affines continues de K dans lui-même, stable par composition. On dit que S est distal si, pour tout couple de points distincts $a, b$ de K, l’adhérence de l’ensemble des couples $(s.a, s.b)$, où s parcourt S, ne contient aucun point de la diagonale de $K \times K$. a) Montrer qu’un groupe équicontinu de transformations affines de K est distal. b) Montrer que si K est non vide et si S est distal, il existe au moins un point de K fixé par toute transformation de S. (Si M est une partie non vide, convexe et compacte de K et stable par S, montrer que si M contient deux points distincts $x_1, x_2$, et si A est l’adhérence de l’orbite de $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$, A ne peut contenir aucun point extrémal de M. En déduire que si L est un élément minimal de l’ensemble des parties non vides, compactes, convexes de K, stables par S, L est réduit à un point, en raisonnant par l’absurde : avec les mêmes notations, l’enveloppe fermée convexe de A serait égale à L, contredisant le th. de Krein-Milman.)