Bài tập 1, Phụ lục 0

Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, K là một tập con lồi compact của E, và S là một tập hợp các biến đổi affine tuyến tính liên tục từ K vào chính nó, ổn định đối với phép hợp thành. Tập hợp S được gọi là xa nếu, với mọi cặp điểm phân biệt a, b trong K, bao đóng của tập hợp các cặp (s.a, s.b), trong đó s chạy trên S, không chứa bất kỳ điểm nào của đường chéo của K × K. a) Chứng minh rằng một nhóm đẳng liên tục các biến đổi affine của K là xa. b) Chứng minh rằng nếu K không rỗng và S là xa, thì tồn tại ít nhất một điểm của K bất biến đối với mọi biến đổi của S. (Nếu M là một tập con lồi compact không rỗng của K ổn định đối với S, chứng minh rằng nếu M chứa hai điểm phân biệt x_1, x_2, và nếu A là bao đóng của quỹ đạo của $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$, thì A không thể chứa bất kỳ điểm cực biên nào của M. Suy ra rằng nếu L là một phần tử cực tiểu của họ các tập con lồi compact không rỗng của K, ổn định đối với S, thì L thu gọn thành một điểm; lập luận bằng phản chứng: với cùng các ký hiệu đó, bao lồi đóng của A sẽ bằng L, điều này sẽ mâu thuẫn với định lý Krein-Milman.)