Exercice 2, Annexe 0

Soient E un espace de Banach, K une partie précompacte de E non réduite à un point, d le diamètre de K. Montrer qu’il existe un point $x_0 \in K$ et un nombre r tel que $0 < r < d$, tels que $\|x - x_0\| \leq r$ pour tout $x \in K$ (choisir $\varepsilon > 0$ assez petit, et n points $y_1, \ldots, y_n$ de K tels que tout point de K soit à distance $< \varepsilon$ de l’un des $y_j$, et poser $x_0 = \frac{1}{n}(y_1 + \cdots + y_n)$ . En déduire une nouvelle démonstration du th. de Ryll-Nardzewski pour les ensembles convexes et fortement compacts dans E.