Bài tập 2, Phụ lục 0

Cho E là một không gian Banach, K là một tập con tiền compact của E không phải là một điểm đơn, và d là đường kính của K. Chứng minh rằng tồn tại một điểm $x_0 \in K$ và một số r sao cho $0 < r < d$, sao cho $\|x - x_0\| \leq r$ với mọi $x \in K$ (chọn $\varepsilon > 0$ đủ nhỏ, và n điểm $y_1, ..., y_n$ của K sao cho mọi điểm của K có khoảng cách < $\varepsilon$ đến một trong các $y_j$, và đặt $x_0 = \frac{1}{n}(y_1 + \cdots + y_n)$.) Suy ra một chứng minh mới của định lý Ryll-Nardzewski cho các tập lồi, compact mạnh trong E.