Exercice 3, Annexe 0

Soient G un groupe topologique et π une représentation unitaire continue de G dans un espace hilbertien complexe E. On appelle 1-cocycle continu toute application continue c : G → E qui satisfait à la relation

quels que soient s, t dans G. On note Z^1(G ; E) l’espace vectoriel complexe des 1-cocycles continus. Pour tout a ∈ E, l’application δ(a) : s ↦ π(s).a − a est un 1-cocycle continu, appelé le cobord de a. L’image de l’application linéaire δ : E → Z^1(G ; E) se note B^1(G ; E) ; on pose H^1(G ; E) = Z^1(G ; E)/B^1(G ; E) (« premier groupe de cohomologie continue de G à valeurs dans E »).

a) Montrer que B^1(G ; E) est formé des 1-cocycles continus et bornés. (Pour tout 1-cocycle continu c et tout s ∈ G, on définit une transformation affine λ_s dans E par λ_s.x = π(s).x + c(s) ; on a λ_{st} = λ_s.λ_t pour s, t dans G. Soit K l’enveloppe fermée convexe de c(G) ; on a λ_s(K) = K pour tout s ∈ G, et λ_s induit une isométrie de K sur lui-même. Si c est borné, montrer qu’on peut appliquer le th. de Ryll-Nardzewski aux λ_s, et si λ_s.a = a pour tout s ∈ G, on a c = − δ(a).)

b) Si G est compact, montrer que l’on a H^1(G ; E) = {0}. \*