Bài tập 3, Phụ lục 0

Cho G là một nhóm tôpô và $\pi$ là một biểu diễn unita liên tục của G trên một không gian Hilbert phức E. Một ánh xạ tuyến tính liên tục $c : G \to E$ thỏa mãn quan hệ

với mọi s, t trong G, được gọi là một 1-phức liên tục. Gọi $Z^1(G; E)$ là không gian vectơ phức của các 1-phức liên tục. Với mọi $a \in E$, ánh xạ $\delta(a) : s \mapsto \pi(s).a - a$ là một 1-phức liên tục, được gọi là cobord của a. Gọi $B^1(G; E)$ là ảnh của ánh xạ tuyến tính $\delta : E \to Z^1(G; E)$; đặt $H^1(G; E) = Z^1(G; E)/B^1(G; E)$ ("nhóm đối đồng điều liên tục thứ nhất của G với các giá trị trong E"). a) Chứng minh rằng $B^1(G; E)$ gồm các 1-phức liên tục và bị chặn. (Với mọi 1-phức liên tục c và mọi $s \in G$, ta định nghĩa một phép biến đổi affine $\lambda_s$ trên E bởi $\lambda_s.x = \pi(s).x + c(s)$; khi đó $\lambda_{st} = \lambda_s.\lambda_t$ với mọi s, t trong G. Gọi K là bao lồi đóng của $c(G)$; khi đó $\lambda_s(K) = K$ với mọi $s \in G$, và $\lambda_s$ cảm sinh một đẳng cự của K lên chính nó. Nếu c bị chặn, chứng minh rằng định lý Ryll-Nardzewski áp dụng được cho $\lambda_s$, và nếu $\lambda_s.a = a$ với mọi $s \in G$, thì $c = -\delta(a)$. b) Nếu G compact, chứng minh rằng $H^1(G; E) = \{0\}$.