Exercice 5, Annexe 0

Soit G un groupe discret.

a) Pour que G soit moyennable (exerc. 4), il faut et il suffit que le sous-espace vectoriel fermé N de $\ell_\infty^\infty(G)$ engendré par les fonctions $\gamma(s) x - x$, où $s \in G$ et $x \in \ell_\infty^\infty(G)$, soit distinct de $\ell_\infty^\infty(G)$ (utiliser le th. de Hahn-Banach).

b) On suppose que, pour tout $\varepsilon > 0$, et toute suite finie $s_1, ..., s_k$ d’éléments de G, il existe une partie finie non vide F de G telle que l’on ait

Montrer que G est moyennable (utiliser a) et montrer que $1 \notin \mathbf{N}$.

c) On suppose que G est moyennable. Soient $\varepsilon > 0$ et $s_1, ..., s_k$ des éléments de G. Montrer que dans l’espace $\ell_1^1(G)$, il existe un vecteur $x \geq 0$ tel que $\|x\| = 1$ et que l’on ait

$(\gamma(s_j) x - x)_{1 \leq j \leq k}$, où $x$ parcourt l’ensemble des vecteurs de $\ell_1^1(G)$ tels que $x \geq 0$ et $\|x\| = 1$. Montrer que 0 appartient à l’adhérence de l’ensemble convexe C pour la topologie $\sigma(E, E')$; pour cela, utiliser $a$ en observant que la boule unité de E est dense dans la boule unité de $E''$ pour $\sigma(E'', E')$.

d) Pour tout $x \geq 0$ dans $\ell_1^1(G)$ et tout $a > 0$, on note $x_a$ la fonction caractéristique de l’ensemble des $s \in G$ tels que $x(s) \geq a$ (de sorte que $x_a(s) = 1$ si $x(s) \geq a$, $x_a(s) = 0$ si $x(s) < a$).

Pour tout $s \in G$, on a

et, pour deux éléments $x \geq 0$, $y \geq 0$ de $\ell_1^1(G)$,

e) Montrer que si G est moyennable, alors, pour tout $\varepsilon > 0$, et toute suite finie d’éléments $s_1, \ldots, s_k$ de G, il existe une partie finie non vide F de G telle que

(Montrer que, $x$ étant choisi comme dans c), il existe un $a > 0$ tel que $\sum_{j=1}^k \| \gamma(s_j) x_a - x_a \| \leq \varepsilon$, en utilisant $d$.)