Bài tập 5, Phụ lục 0

Cho $G$ là một nhóm rời rạc. a) Chứng minh rằng một trung bình có thể được xác định trên $G$ (Bài tập 4) khi và chỉ khi không gian con vectơ đóng $N$ của $\ell^\infty_\mathbf{R}(G)$ sinh bởi các hàm $\gamma(s)\ x - x$, với $s \in G$ và $x \in \ell^\infty_\mathbf{R}(G)$, là phân biệt với $\ell^\infty_\mathbf{R}(G)$ (sử dụng định lý Hahn-Banach). b) Giả sử rằng với mọi $\varepsilon > 0$ và với mọi dãy hữu hạn $s_1, ..., s_k$ các phần tử của $G$, tồn tại một tập con hữu hạn không rỗng $F$ của $G$ sao cho

Chứng minh rằng một trung bình có thể được xác định trên $G$ (sử dụng $a$) và chứng minh rằng $1 \notin N$. c) Giả sử rằng một trung bình có thể được xác định trên $G$. Cho $\varepsilon > 0$ và cho $s_1, ..., s_k$ là các phần tử của $G$. Chứng minh rằng tồn tại một vectơ $x \geq 0$ trong không gian $\ell^1_\mathbf{R}(G)$ sao cho $\|x\| = 1$ và

trong đó $x$ chạy trên tập hợp tất cả các vectơ của $\ell^1_\mathbf{R}(G)$ sao cho $x \geq 0$ và $\|x\| = 1$. Chứng minh rằng 0 thuộc bao đóng của tập lồi $C$ đối với tôpô $\sigma(E, E')$; về điều này, sử dụng $a$, nhận thấy rằng quả cầu đơn vị của $E$ là trù mật trong quả cầu đơn vị của $E''$ đối với $\sigma(E'', E')$. d) Với mọi $x \geq 0$ trong $\ell^1_\mathbf{R}(G)$, và với mọi $a > 0$, ký hiệu $x_a$ là hàm đặc trưng của tập hợp tất cả các $s \in G$ sao cho $x(s) \geq a$ (nghĩa là $x_a(s) = 1$ nếu $x(s) \geq a$, $x_a(s) = 0$ nếu $x(s) < a$). Khi đó với mọi $s \in G$,

e) Chứng minh rằng, nếu một trung bình có thể được xác định trên $G$, thì với mọi $\varepsilon > 0$, và với mọi dãy hữu hạn các phần tử $s_1, ..., s_k$ của $G$, tồn tại một tập con hữu hạn không rỗng $F$ của $G$ sao cho

(Chứng minh rằng, sau khi đã chọn $x$ như trong $c$), tồn tại một $a > 0$ sao cho $\sum_{j=1}^k \| \gamma(s_j)\ x_a - x_a \| \leq \varepsilon$; sử dụng $d$). \*