Exercice 8, Annexe 0

Soient E un espace vectoriel réel et $\Gamma$ un groupe résoluble d’automorphismes de E. Soient $p$ une semi-norme sur E invariante par $\Gamma$ et M un sous-espace vectoriel de E invariant par $\Gamma$. Soit $u$ une forme linéaire sur M, invariante par $\Gamma$ et telle que $|u(x)| \leq p(x)$ pour tout $x \in M$. Montrer qu’il existe une forme linéaire $v$ sur E, invariante par $\Gamma$, telle que $|v| \leq p$ et prolongeant $u$. (Soit K l’ensemble des formes linéaires $v$ sur E, prolongeant $u$, et telles que $|v| \leq p$; alors K est une partie convexe de $E^*$, stable par $\Gamma$, compacte pour la topologie induite par $\sigma(E^*, E)$. Appliquer le corollaire de IV, p. 40.)

TABLEAU I. — Principaux types d’espaces localement convexes. (N.B. — « Dual » est pris au sens de « dual fort ».)

Esp. de dimension finie ↓ Esp. de Hilbert ↓ Esp. de Banach réflexif ↓ Esp. de Banach ↓ Esp. de Fréchet ↓ Esp. normé ↓ Esp. métrisable ↓ Esp. complet ↓ Esp. quasi-complet ↓ Esp. bornologique ↓ Dual d’esp. bornologique ↓ Esp. tonnelé ↓ Esp. infratonnelé ↓ Esp. semi-tonnelé ↓ Esp. semi-réflexif et semi-tonnelé ↓ Esp. semi-réflexif ↓ Esp. réflexif ↓ Dual d’esp. semi-réflexif ↓ Dual d’esp. de Fréchet ↓ Dual d’esp. tonnelé ↓ Esp. semi-réflexif ↓ Esp. de Fréchet ↓ Esp. ultrabornologique ↓ Esp. tonnelé ↓ Esp. infra-tonnelé ↓ Esp. semi-tonnelé ↓ Esp. semi-réflexif et semi-tonnelé ↓ Esp. semi-réflexif ↓ Esp. réflexif ↓ Dual d’un esp. de Fréchet réflexif ↓ Esp. de Fréchet réflexif ↓ Esp. de Fréchet distingué ↓ Esp. de Fréchet de type dénombrable ↓ Esp. de Fréchet réflexif ↓ Esp. de Fréchet Montel ↓ Esp. de Fréchet Montel ↓ Esp. de Montel

TABLEAU II. — Principales bornologies sur le dual d’un espace localement convexe E.

Contenu dans un ensemble convexe équilibré et fortement compact

Equicontinu

(2)

Contenu dans un ensemble convexe équilibré et faiblement compact

Faiblement précompact

Borné pour $\sigma(E', E'')$

Borné pour la $\mathscr{G}$-topologie

Faiblement borné

Fortement borné

N.B. — On désigne par $\mathscr{G}$ un ensemble de parties bornées de E, contenant les parties à un élément. Un numéro à côté d’une flèche signifie que l’implication correspondante est conditionnelle à la propriété portant le même numéro.

PROPRIÉTÉS

1) Dès que E est semi-réflexif ; 2) dès que E est bornologique (III, p. 22, prop. 10) ; 3) si et seulement si E a la topologie de Mackey $\tau(E, E')$ ; 4) si et seulement si E est tonnelé ; 5) si et seulement si $E'$ est quasi-complet pour $\sigma(E', E)$ ; 6) dès que E est semi-complet (\emph{a fortiori}, quasi-complet ou complet) (III, p. 27, cor. 1) ; 7) dès que $\mathscr{G}$ se compose d’ensembles dont l’enveloppe fermée convexe équilibrée est semi-complète (III, p. 27, th. 2).

Lorsque E est un espace de Montel, toutes les bornologies précédentes sont identiques.