Bài tập 8, Phụ lục 0

Cho $E$ là một không gian vectơ thực và $\Gamma$ là một nhóm giải được của các tự đẳng cấu của $E$. Cho $p$ là một nửa chuẩn trên $E$ bất biến dưới $\Gamma$ và $M$ là một không gian con vectơ của $E$, bất biến dưới $\Gamma$. Cho $u$ là một dạng tuyến tính trên $M$, bất biến dưới $\Gamma$ và sao cho $|u(x)| \leq p(x)$ với mọi $x \in M$. Chứng minh rằng tồn tại một dạng tuyến tính $v$ trên $E$ bất biến dưới $\Gamma$ và sao cho $|v| \leq p$ và $v$ mở rộng $u$. (Cho $K$ là tập hợp các dạng tuyến tính $v$ trên $E$ mở rộng $u$, và sao cho $|v| \leq p$; khi đó $K$ là một tập con lồi của $E^*$, ổn định dưới $\Gamma$ và compact đối với tôpô cảm sinh bởi $\sigma(E^*, E)$. Áp dụng hệ quả của IV, p. 40.)

BẢNG I. — Các loại chính của các không gian lồi địa phương. (N.B. — « Đối ngẫu » được hiểu theo nghĩa « đối ngẫu mạnh ».)

Không gian hữu hạn chiều —> không gian Fréchet-Montel —> không gian Montel

Không gian Hilbert —> không gian Banach phản xạ —> không gian Fréchet phản xạ —> Đối ngẫu của một không gian Fréchet phản xạ —> không gian phản xạ

Không gian Banach phản xạ —> không gian Fréchet thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất —> không gian Fréchet phân biệt —> Đối ngẫu của một không gian Fréchet phân biệt —> Đối ngẫu của một không gian nửa phản xạ

Không gian Banach —> không gian chuẩn tắc —> không gian mêtric hóa được —> không gian Boronological —> Đối ngẫu của một không gian bornological —> không gian đầy đủ —> không gian gần đầy đủ

Không gian Fréchet —> không gian ultrabornological —> không gian barrelled —> không gian infra-barrelled —> Đối ngẫu của một không gian barrelled —> không gian semi-barrelled —> không gian semi-barrelled nửa phản xạ —> không gian nửa phản xạ

Không gian barrelled —> Đối ngẫu của một không gian Fréchet —> Đối ngẫu của một không gian barrelled —> không gian nửa phản xạ

BẢNG II. — Các bornology chính trên đối ngẫu của một không gian lồi địa phương.

Được chứa trong một tập hợp lồi cân bằng và compact mạnh ↓ bị chặn mạnh ↑ Bị chặn đối với $\sigma(E', E'')$ (1) (6) ↓ Bị chặn đối với tôpô $\mathscr{S}$ ↑ Bị chặn yếu ↓ Đẳng liên tục (2) ↓ Được chứa trong một tập hợp lồi cân bằng và compact yếu (3) ↓ Tiền compact yếu (5)

N.B. — Ta ký hiệu bởi $\mathscr{S}$ một họ các tập con bị chặn của $E$ sao cho mọi phần tử đều được chứa trong một tập hợp thuộc về $\mathscr{S}$. Một số ở bên cạnh một mũi tên chỉ rằng kéo theo tương ứng đúng nếu tính chất có cùng số được thỏa mãn.

CÁC TÍNH CHẤT

1) Khi và chỉ khi $E$ là nửa phản xạ; 2) Khi và chỉ khi $E$ là bornological (III, p. 22, prop. 10); 3) Khi và chỉ khi $E$ có tôpô Mackey $\tau(E, E')$; 4) Khi và chỉ khi $E$ là barrelled; 5) Khi và chỉ khi $E'$ là gần đầy đủ đối với $\sigma(E', E)$; 6) Khi $E$ là nửa đầy đủ (a fortiori, gần đầy đủ hoặc đầy đủ) (III, p. 27, cor. 1); 7) Khi $\mathscr{S}$ gồm các tập hợp mà bao đóng lồi cân bằng của chúng là nửa đầy đủ (III, p. 27, th. 2).

Khi $E$ là một không gian Montel, tất cả các bornology trước đó là đồng nhất.