Exercice 1, § 1

Soit A un ensemble infini. a) Soit E l’espace de Banach $\overline{\mathscr{H}}(A)$ sur $\mathbf{R}$, formé des familles $x = (x_\alpha)_{\alpha \in A}$ de nombres réels telles que $\alpha \mapsto x_\alpha$ tende vers 0 suivant le filtre des complémentaires des parties finies de A, et muni de la norme $\|x\| = \sup_{\alpha \in A} |x_\alpha|$ (lorsque $A = \mathbf{N}$, on note aussi cet espace $c_0$ ou $c_0(\mathbf{N})$). Montrer que toute forme linéaire continue sur E s’écrit d’une seule manière $x \mapsto \sum_{\alpha \in A} u_\alpha x_\alpha$, où $(u_\alpha)_{\alpha \in A}$ est une famille telle que $\sum_{\alpha \in A} |u_\alpha| < + \infty$; le dual $E'$ de E peut donc être identifié (en tant qu’espace vectoriel non topologique) à l’espace $\ell^1(A)$ (I, p. 4, Exemple). b) Soit F l’espace de Banach $\ell^1(A)$ (I, p. 4, Exemple) (lorsque $A = \mathbf{N}$, on le note aussi $\ell^1$). Montrer que toute forme linéaire continue sur F s’écrit d’une seule manière $x \mapsto \sum_{\alpha \in A} u_\alpha x_\alpha$, où $(u_\alpha)_{\alpha \in A}$ est une famille bornée de nombres réels; le dual $F'$ de F peut donc être identifié (en tant qu’espace vectoriel non topologique) à l’espace $\mathscr{B}(A) = \ell^\infty(A)$ (TG, X, p. 21). c) Soient B un ensemble quelconque, $(c_{\alpha \beta})_{(\alpha, \beta) \in A \times B}$ une famille quelconque de nombres $\geqslant 0$. Soit G l’espace vectoriel des familles $x = (x_\alpha)_{\alpha \in A}$ de nombres réels telles que, pour tout $\beta \in B$, on ait $p_\beta(x) = \sum_{\alpha \in A} c_{\alpha \beta} |x_\alpha| < + \infty$; les $p_\beta$ sont des semi-normes sur G. Pour que G, muni de la topologie définie par cette famille de semi-normes, soit séparé, il faut et il suffit que, pour tout $\alpha \in A$, il existe au moins un $\beta \in E$ tel que $c_{\alpha \beta} > 0$. Montrer que G est alors complet, et que toute forme linéaire continue sur G peut s’écrire d’une seule manière $x \mapsto \sum_{\alpha \in A} u_\alpha x_\alpha$, où $(u_\alpha)_{\alpha \in A}$ est une famille de nombres réels satisfaisant à la condition suivante : il existe un nombre fini d’indices $\beta_i \in B$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) et un nombre $a > 0$ tel que $|u_\alpha| \leqslant a \cdot c_{\alpha \beta_i}$ pour tout $\alpha \in A$ et $1 \leqslant i \leqslant n$; réciproque. Extension de ces résultats lorsque le corps des scalaires est $\mathbf{C}$.