Bài tập 1, § 1

Cho A là một tập hợp vô hạn. a) Cho E là không gian Banach $\overline{\mathscr{K}(A)}$ trên $\mathbf{R}$, gồm tất cả các họ $x = (x_\alpha)_{\alpha \in A}$ các số thực sao cho $\alpha \mapsto x_\alpha$ tiến tới 0 đối với lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của A, và được trang bị chuẩn $\|x\| = \sup_{\alpha \in A} |x_\alpha|$ (khi $A = \mathbf{N}$, không gian này được ký hiệu là $c_0$ hoặc $c_0(\mathbf{N})$). Chứng minh rằng mọi dạng tuyến tính liên tục trên E có thể được viết một cách duy nhất dưới dạng $x \mapsto \sum_{\alpha \in A} u_\alpha x_\alpha$, trong đó $(u_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ sao cho $\sum_{\alpha \in A} |u_\alpha| < +\infty$; khi đó đối ngẫu $E'$ của E có thể được đồng nhất (như một không gian vectơ không tôpô) với không gian $\ell^1(A)$ (I, p. 4, Ví dụ). b) Cho F là không gian Banach $\ell^1(A)$ (I, p. 4, Ví dụ) (khi $A = \mathbf{N}$, còn được ký hiệu là $\ell^1$). Chứng minh rằng mọi dạng tuyến tính liên tục trên F có thể được viết một cách duy nhất dưới dạng $x \mapsto \sum_{\alpha \in A} u_\alpha x_\alpha$, trong đó $(u_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ bị chặn các số thực; khi đó đối ngẫu $F'$ của F có thể được đồng nhất (như một không gian vectơ không tôpô) với không gian $\mathscr{B}(A) = \ell^\infty(A)$. c) Cho B là một tập hợp tùy ý, $(c_{\alpha \beta})_{(\alpha, \beta) \in A \times B}$ là một họ tùy ý các số $\geqslant 0$. Cho G là không gian vectơ gồm tất cả các họ $x = (x_\alpha)_{\alpha \in A}$ các số thực sao cho, với mọi $\beta \in B$, ta có $p_\beta(x) = \sum_{\alpha \in A} c_{\alpha \beta} |x_\alpha| < +\infty$; các $p_\beta$ là các nửa chuẩn trên G. Để G, với tôpô được xác định bởi họ các nửa chuẩn này, là Hausdorff, điều kiện cần và đủ là, với mọi $\alpha \in A$, tồn tại ít nhất một $\beta \in B$ sao cho $c_{\alpha \beta} > 0$. Chứng minh rằng khi đó G là đầy đủ, và mọi dạng tuyến tính liên tục trên G có thể được viết một cách duy nhất dưới dạng $x \mapsto \sum_{\alpha \in A} u_\alpha x_\alpha$, trong đó $(u_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ các số thực thỏa mãn điều kiện sau đây; tồn tại một số hữu hạn các chỉ số $\beta_i \in B$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) và một số $a > 0$ sao cho $|u_\alpha| \leqslant a \cdot c_{\alpha \beta_i}$ với mọi $\alpha \in A$ và $1 \leqslant i \leqslant n$. Chứng minh đảo lại, và mở rộng các kết quả này sang trường hợp trường vô hướng là $\mathbf{C}$.