Exercice 15, § 1

a)** Soient E un espace localement convexe séparé, A un ensemble convexe et équilibré dans E, $u$ une forme linéaire sur E. Montrer que, si $A \cap u^{-1}(0)$ est fermé par rapport à A, la restriction de $u$ à A est continue. (Dans le cas contraire, montrer que 0 serait adhérent à l’intersection de A et d’un hyperplan $u^{-1}(\alpha)$ avec $\alpha \neq 0$; en déduire que si $b \in A$ est tel que $u(b) = -\alpha$, le point $\frac{1}{2}b$ serait adhérent à $A \cap u^{-1}(0)$.) b) Soient E un espace localement convexe réel séparé et complet, E' son dual. Montrer que, si un hyperplan H' de E' est tel que son intersection avec toute partie équicontinue et faiblement fermée $M' \subset E'$ soit faiblement fermée, H' est faiblement fermé (utiliser a) et III, p. 21, cor. 1). c) Soient E un espace localement convexe séparé, E' son dual, C un ensemble convexe, équilibré et fermé dans E. Soit $u$ une forme linéaire sur E ; montrer que, si la restriction de $u$ à C est continue pour la topologie initiale, elle est aussi continue pour $\sigma(E, E')$ (utiliser a)). Montrer par un exemple que la restriction de $u$ au sous-espace vectoriel M engendré par C n’est pas nécessairement continue (prendre $E = \mathbf{R}^{(N)}$ muni de la norme $\|x\| = \sup_n |\xi_n|$, et pour C un ensemble convexe convenable engendrant E).