Bài tập 15, § 1

a)** Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, A là một tập lồi và cân bằng trong E, và u là một dạng tuyến tính trên E. Chứng minh rằng nếu $A \cap u^{-1}(0)$ là đóng đối với A, thì hạn chế của u trên A là liên tục. (Nếu không, chứng minh rằng 0 sẽ thuộc bao đóng của giao của A và một siêu phẳng $u^{-1}(\alpha)$ với $\alpha \neq 0$; suy ra rằng nếu $b \in A$ sao cho $u(b) = -\alpha$, điểm $\frac{1}{2} b$ sẽ thuộc bao đóng của $A \cap u^{-1}(0)$.) b) Cho E là một không gian thực lồi địa phương Hausdorff và đầy đủ, E' là đối ngẫu của nó. Chứng minh rằng nếu một siêu phẳng H' của E' có tính chất là giao của nó với mọi tập con cân bằng liên tục và đóng yếu $M' \subset E'$ đều đóng yếu, thì H' là đóng yếu (dùng a) và III, p. 21, hệ quả 1). c) Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, E' là đối ngẫu của nó và C là một tập lồi, cân bằng và đóng trong E. Cho u là một dạng tuyến tính trên E; chứng minh rằng nếu hạn chế của u trên C là liên tục đối với tôpô ban đầu, thì nó cũng liên tục đối với $\sigma(E, E')$ (dùng a). Chứng minh bằng một ví dụ rằng hạn chế của u trên không gian con vectơ M sinh bởi C không nhất thiết liên tục (lấy $E = \mathbf{R}^{(N)}$ với chuẩn $\|x\| = \sup_n |\xi_n|$, và với C lấy một tập lồi thích hợp sinh E).