Exercice 16, § 1

Soient F et G deux espaces vectoriels en dualité séparante ; on appelle clôture de G dans le dual algébrique F* de F l’ensemble des formes linéaires $x'$ sur F qui sont bornées dans toute partie de F bornée pour $\sigma(F, G)$; c’est un sous-espace vectoriel $\tilde{G}$ de F*, qui est le dual de F lorsqu’on munit F de la topologie d’espace bornologique associée (III, p. 41, exerc. 1) à une quelconque des topologies compatibles avec la dualité entre F et G. On dit que G est clos dans F* si $\tilde{G} = G$. a) Soit M un sous-espace vectoriel de F fermé pour $\sigma(F, G)$. Montrer que si G est clos dans F*, et si F/M est muni de la topologie $\sigma(F/M, M^\circ)$, son dual est clos dans (F/M)*. b) Soient E un espace localement convexe séparé, E' son dual. Pour que E soit bornologique, il faut et il suffit que sa topologie soit identique à $\tau(E, E')$ et que E' soit clos dans E*. c) Soit $(E_i)_{i \in I}$ une famille d’espaces localement convexes séparés, F l’espace somme directe des $E_i$, muni de la topologie définie dans I, p. 24, exerc. 14. Montrer que le dual de F est canoniquement isomorphe au sous-espace du produit $\prod_{i \in I} E'_i$ des duals des $E_i$, formé des familles $(x'_i)$ telles que $x'_i = 0$ sauf pour un ensemble dénombrable d’indices. (Soit $V_i$ un voisinage quelconque de 0 dans $E_i$. Montrer que si $x'_i \neq 0$ pour un ensemble non dénombrable d’indices, il existe un nombre $\alpha > 0$ et un ensemble non dénombrable $H \subset I$ tels qu’il existe $x_i \in V_i$ pour lequel $\langle x_i, x'_i \rangle \geq \alpha$ pour tout $i \in H$; en conclure que $(x'_i)$ ne peut appartenir à F'.) d) Montrer que si I est non dénombrable, F' n’est pas clos dans F* ; si l’on prend $E_i = \mathbf{R}$ pour tout $i \in I$, F', muni de la topologie forte, n’est pas complet, et il existe dans F' des parties fortement bornées qui ne sont pas relativement faiblement compactes.