Bài tập 16, § 1

Cho F và G là hai không gian vectơ đối ngẫu tách được, tập hợp tất cả các dạng tuyến tính $x'$ trên F bị chặn trên mọi tập con của F bị chặn đối với $\sigma(F, G)$ được gọi là bao đóng của G trong đối ngẫu đại số F* của F; đây là một không gian con vectơ $\tilde{G}$ của F*, là đối ngẫu của F khi F được trang bị tôpô của không gian bornologique liên kết (III, p. 40, exerc. 1) với một trong các tôpô tương thích với đối ngẫu giữa F và G. Khi đó, ta nói G được bao đóng trong F* nếu $\tilde{G} = G$. a) Cho M là một không gian con vectơ đóng của F đối với tôpô $\sigma(F, G)$. Chứng minh rằng nếu G được bao đóng trong F*, và nếu F/M được trang bị tôpô $\sigma(F/M, M^\circ)$, thì đối ngẫu của nó được bao đóng trong (F/M)*. b) Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, E' là đối ngẫu của nó. Để E là bornologique, điều kiện cần và đủ là tôpô của nó đồng nhất với $\tau(E, E')$ và E' được bao đóng trong E*. c) Cho $(E_i)_{i \in I}$ là một họ các không gian lồi địa phương Hausdorff, và F là không gian tổng trực tiếp của các $E_i$, được trang bị tôpô xác định trong I, p. 24, exerc. 14. Chứng minh rằng đối ngẫu của F đẳng cấu một cách chính tắc với không gian con của tích $\prod_{i \in I} E'_i$ của các đối ngẫu của các $E_i$, gồm tất cả các họ $(x'_i)$ sao cho $x'_i = 0$ ngoại trừ một số đếm được các chỉ số. (Cho $V_i$ là một lân cận tùy ý của 0 trong $E_i$. Chứng minh rằng nếu $x'_i \neq 0$ với một tập hợp không đếm được các chỉ số, thì tồn tại một số $\alpha > 0$ và một tập hợp không đếm được $H \subset I$ sao cho tồn tại $x_i \in V_i$ mà $\langle x_i, x'_i \rangle \geq \alpha$ với mọi $i \in H$; kết luận rằng $(x'_i)$ không thể thuộc F'.) d) Chứng minh rằng nếu I là không đếm được thì F' không được bao đóng trong F*; nếu lấy $E_i = \mathbf{R}$ với mọi $i \in I$, thì F' được trang bị tôpô mạnh không đầy đủ, và tồn tại các tập con bị chặn mạnh trong F' không tương đối compact yếu.