Exercice 17, § 1

Soient E un espace localement convexe séparé, E' son dual et, dans E', soient $\mathscr{B}_1$ l’ensemble des parties convexes équicontinues, $\mathscr{B}_2$ l’ensemble des parties convexes relativement faiblement compactes, $\mathscr{B}_3$ l’ensemble des parties convexes fortement bornées, $\mathscr{B}_4$ l’ensemble des parties convexes faiblement bornées. On a $\mathscr{B}_1 \subset \mathscr{B}_2 \subset \mathscr{B}_3 \subset \mathscr{B}_4$. Donner un exemple d’espace E pour lequel ces quatre ensembles de parties sont distincts (prendre pour E un produit de trois espaces pour lesquels on a respectivement $\mathscr{B}_1 \neq \mathscr{B}_2$ (cf. IV, p. 49, exerc. 8), $\mathscr{B}_2 \neq \mathscr{B}_3$ (exerc. 16, d)), $\mathscr{B}_3 \neq \mathscr{B}_4$ (III, p. 23, Remarque 2).