Bài tập 17, § 1

Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, E' là đối ngẫu của nó và, trong E', cho $\mathfrak{B}_1$ là họ các tập hợp lồi liên tục đều, $\mathfrak{B}_2$ là họ các tập con lồi, tương đối compact yếu, $\mathfrak{B}_3$ là họ các tập con lồi bị chặn mạnh, và $\mathfrak{B}_4$ là họ các tập con lồi bị chặn yếu. Khi đó $\mathfrak{B}_1 \subset \mathfrak{B}_2 \subset \mathfrak{B}_3 \subset \mathfrak{B}_4$. Hãy cho một ví dụ về một không gian E sao cho bốn họ tập hợp này là phân biệt (lấy E là một tích của ba không gian mà tương ứng ta có $\mathfrak{B}_1 \neq \mathfrak{B}_2$ (cf. IV, p. 49, exerc. 8), $\mathfrak{B}_2 \neq \mathfrak{B}_3$ (exerc. 16, d)), $\mathfrak{B}_3 \neq \mathfrak{B}_4$ (III, p. 23, nhận xét 2).