Exercice 19, § 1

Soient E et F deux espaces localement convexes séparés, E' et F' leurs duals. Pour toute partie H de l’espace $\mathscr{L}(E; F)$ des applications linéaires continues de E dans F, on désigne par 'H l’ensemble des transposées des applications $u \in H$. Pour toute partie M (resp. N') de E (resp. F'), on désigne par H(M) (resp. 'H(N')) la réunion des ensembles $u(M)$ (resp. $u(N')$) lorsque $u$ parcourt H. a) Pour que H soit équicontinu, il faut et il suffit que, pour toute partie équicontinue N' de F', 'H(N') soit une partie équicontinue de E'. b) Soit $\mathscr{S}$ un ensemble de parties bornées de E. Montrer que, pour que H soit borné dans $\mathscr{L}(E; F)$ pour la $\mathscr{S}$-topologie, il faut et il suffit que, pour tout $y' \in F'$, 'H($y'$) soit borné dans E' pour la $\mathscr{S}$-topologie. c) Soient $\mathscr{S}$ un ensemble de parties bornées de E, $\mathscr{J}$ un ensemble de parties bornées de F formant une bornologie adaptée à F (III, p. 3, déf. 4). On suppose E' muni de la $\mathscr{S}$-topologie, F' de la $\mathscr{J}$-topologie. Pour que 'H soit équicontinu, il faut et il suffit que, pour tout ensemble B $\in \mathscr{S}$, H(B) appartienne à $\mathscr{J}$. En particulier, pour que 'H soit équicontinu pour les topologies fortes sur F' et E', il faut et il suffit que H soit borné dans $\mathscr{L}(E; F)$ pour la topologie de la convergence bornée. d) Déduire de b) et c) que, si 'H est borné pour la topologie de la convergence simple dans $\mathscr{L}(F'; E')$ lorsque F' et E' sont munis des topologies fortes, 'H est équicontinu pour ces topologies. e) Montrer que, si E est tonnelé, les propriétés suivantes sont équivalentes : α) H est simplement borné dans $\mathscr{L}(E; F)$; β) H est équicontinu ; γ) 'H est simplement borné dans $\mathscr{L}(F'; E')$, lorsque E' est muni de la topologie faible $\sigma(E', E)$; δ) 'H est équicontinu, lorsque E' et F' sont munis des topologies fortes. f) Montrer que, si E est infratonnelé (III, p. 45, exerc. 7), les propriétés β) et δ) de e) sont équivalentes, et sont aussi équivalentes aux deux suivantes : ε) H est borné dans $\mathscr{L}(E; F)$ pour la topologie de la convergence bornée ; φ) 'H est simplement borné dans $\mathscr{L}(F'; E')$ lorsque E' est muni de la topologie forte. g) Montrer que si E est quasi-complet, les propriétés α), γ) et δ) de e) sont équivalentes.