Bài tập 19, § 1

Cho E và F là hai không gian lồi địa phương Hausdorff, E' và F' là các đối ngẫu của chúng. Với mọi tập con H của không gian $\mathscr{L}(E; F)$ gồm các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F, ký hiệu 'H là tập hợp các ánh xạ chuyển vị của các ánh xạ $u \in H$. Với mọi tập con M (tương ứng N') của E (tương ứng F'), ký hiệu H(M) (tương ứng 'H(N')) là hợp của các tập hợp $u(M)$ (tương ứng 'u(N')) khi u chạy qua H. a) Để H là liên tục đều, điều kiện cần và đủ là, với mọi tập con N' liên tục đều của F', 'H(N') là một tập con liên tục đều của E'. b) Cho $\mathfrak{S}$ là một tập hợp các tập con bị chặn của E. Chứng minh rằng H là bị chặn trong $\mathscr{L}(E; F)$ đối với tôpô $\mathfrak{S}$ khi và chỉ khi với mọi $y' \in F'$, 'H(y') là bị chặn trong E' đối với tôpô $\mathfrak{S}$.

c) Cho $\mathfrak{S}$ là một tập hợp các tập con bị chặn của E, $\mathfrak{J}$ là một tập hợp các tập con bị chặn của F tạo thành một bornologie thích nghi của F (III, p. 3, def. 4). Giả sử E' được trang bị tôpô $\mathfrak{S}$ và F' được trang bị tôpô $\mathfrak{J}$. Khi đó $'H$ là liên tục đều khi và chỉ khi với mọi tập hợp $B \in \mathfrak{S}$, $H(B)$ thuộc về $\mathfrak{J}$. Đặc biệt, $'H$ là liên tục đều đối với các tôpô mạnh trên F' và E' khi và chỉ khi H là bị chặn trong $\mathscr{L}(E; F)$ đối với tôpô hội tụ bị chặn. d) Suy ra từ b) và c) rằng, nếu $'H$ là bị chặn đối với tôpô hội tụ đơn giản trong $\mathscr{L}(F'; E')$ khi F' và E' được trang bị các tôpô mạnh, thì $'H$ là liên tục đều đối với các tôpô này. e) Chứng minh rằng nếu E là barrelled, các tính chất sau là tương đương : α) $H$ là bị chặn đơn giản trong $\mathscr{L}(E; F)$; β) $H$ là liên tục đều; γ) $'H$ là bị chặn đơn giản trong $\mathscr{L}(F'; E')$ khi E' được trang bị tôpô yếu $\sigma(E', E)$; δ) $'H$ là liên tục đều, khi E' và F' được trang bị các tôpô mạnh. f) Chứng minh rằng nếu E là infrabarrelled (III, p. 44, exerc. 7), thì các tính chất β) và δ) của e) là tương đương, và cũng tương đương với các tính chất sau : ε) $H$ là bị chặn trong $\mathscr{L}(E; F)$ đối với tôpô hội tụ bị chặn; φ) $'H$ là bị chặn đơn giản trong $\mathscr{L}(F'; E')$ khi E' được trang bị tôpô mạnh. g) Chứng minh rằng nếu E là đầy đủ quasi, các tính chất α), γ) và δ) của e) là tương đương.