Exercice 2, § 1

a) Soient F et G deux espaces vectoriels en dualité séparante. Montrer que, si F est relativement borné pour $\sigma(F, G)$ (III, p. 45, exerc. 6), G est relativement borné pour $\sigma(G, F)$. b) Soit F un espace vectoriel, et soient $G_1, G_2$ deux sous-espaces vectoriels de $F^*$ tels que F soit en dualité séparante avec $G_1$ et avec $G_2$. Montrer que, si F est relativement borné pour $\sigma(F, G_1)$ et $\sigma(F, G_2)$, il l’est aussi pour $\sigma(F, G_1 + G_2)$. c) On suppose que F admet une base dénombrable. Montrer que, pour tout sous-espace vectoriel G de $F^*$, en dualité séparante avec F et admettant une base dénombrable, F est relativement borné pour $\sigma(F, G)$ (définir par récurrence deux bases $(a_n), (b_n)$ de F et G respectivement, telles que $\langle a_m, b_n \rangle = \delta_{mn}$).