Bài tập 2, § 1

a) Cho F và G là hai không gian vectơ trong đối ngẫu tách. Chứng minh rằng, nếu F bị chặn tương đối đối với $\sigma(F, G)$ (III, p. 43, exerc. 6), thì G cũng bị chặn tương đối đối với $\sigma(G, F)$.

b) Cho F là một không gian vectơ, và cho G₁, G₂ là hai không gian con vectơ của F* sao cho F ở trong đối ngẫu tách với G₁ và với G₂. Chứng minh rằng, nếu F bị chặn tương đối đối với σ(F, G₁) và σ(F, G₂), thì nó cũng như vậy đối với σ(F, G₁ + G₂).

c) Giả sử rằng F có một cơ sở đếm được. Chứng minh rằng, với mọi không gian con vectơ G của F* ở trong đối ngẫu tách với F và có một cơ sở đếm được, F bị chặn tương đối đối với σ(F, G) (bằng quy nạp định nghĩa hai cơ sở (aₙ), (bₙ) của F và G tương ứng, sao cho $\langle a_m, b_n \rangle = \delta_{mn}$).