Exercice 20, § 1

Soient E un espace localement convexe séparé, E' son dual. a) Soit M un sous-espace vectoriel fermé de E. Pour que la topologie $\tau(M, E'/M^\circ)$ soit identique à la topologie induite sur M par $\tau(E, E')$, il faut et il suffit que tout ensemble convexe équilibré de $E'/M^\circ$, compact pour la topologie faible $\sigma(E'/M^\circ, M)$, soit l’image canonique d’une partie convexe équilibrée de E', compacte pour $\sigma(E', E)$ (cf. V, p. 72, exerc. 15). b) Soit N un sous-espace vectoriel de E, dense dans E. Si la topologie induite sur N par celle de E est identique à $\tau(N, E')$, montrer que la topologie de E est identique à $\tau(E, E')$.