Exercice 25, § 1

a) Montrer que tout espace de Banach réel (resp. complexe) est isométrique à un sous-espace fermé d’un espace de Banach de la forme $\mathscr{C}(S ; \mathbf{R})$ (resp. $\mathscr{C}(S ; \mathbf{C})$) constitué par les fonctions continues réelles (resp. complexes) définies dans un espace compact $S$ (TG, X, p. 33) (utiliser la formule (3) de IV, p. 7). b) Déduire de a) que tout espace localement convexe séparé $E$ est isomorphe à un sous-espace d’un espace localement convexe de la forme $\mathscr{C}_c(L ; \mathbf{R})$ (resp. $\mathscr{C}_c(L ; \mathbf{C})$) (TG, X, p. 7). En particulier, tout espace de Fréchet est isomorphe à un sous-espace fermé d’un espace $\mathscr{C}_c(L ; \mathbf{R})$ (resp. $\mathscr{C}_c(L ; \mathbf{C})$), où $L$ est localement compact et dénombrable à l’infini.