Exercice 4, § 1

Soient F, G deux espaces vectoriels en dualité séparante, G (resp. F) étant identifié au dual de F (resp. G) lorsque ce dernier est muni de la topologie $\sigma(F, G)$ (resp. $\sigma(G, F)$). Soit $\mathscr{S}$ (resp. $\mathscr{T}$) un recouvrement de F (resp. G) formé de parties convexes, équilibrées et bornées pour $\sigma(F, G)$ (resp. $\sigma(G, F)$). Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : α) Tout ensemble $M \in \mathscr{S}$ est précompact pour la $\mathscr{T}$-topologie. β) Tout ensemble $N \in \mathscr{T}$ est précompact pour la $\mathscr{S}$-topologie. γ) Sur tout ensemble $M \in \mathscr{S}$, la topologie induite par la $\mathscr{T}$-topologie est identique à la topologie induite par $\sigma(F, G)$. δ) Sur tout ensemble $N \in \mathscr{T}$, la topologie induite par la $\mathscr{S}$-topologie est identique à la topologie induite par $\sigma(G, F)$. (Utiliser la prop. 5 de III, p. 17 pour établir que α) entraîne δ) et l’exerc. 1 de II, p. 78 pour montrer que δ) entraîne β).)