Bài tập 4, § 1

Cho F và G là hai không gian vectơ trong đối ngẫu phân ly, G (tương ứng F) được đồng nhất với đối ngẫu của F (tương ứng G) khi không gian sau được trang bị tôpô σ(F, G) (tương ứng σ(G, F)). Cho $\mathscr{S}$ (tương ứng $\mathscr{T}$) là một phủ của F (tương ứng G) gồm các tập con lồi, cân bằng và bị chặn đối với σ(F, G) (tương ứng σ(G, F)). Chứng minh rằng các mệnh đề sau là tương đương : α) Mọi tập hợp M ∈ $\mathscr{S}$ đều tiền compact đối với tôpô $\mathscr{T}$. β) Mọi tập hợp N ∈ $\mathscr{T}$ đều tiền compact đối với tôpô $\mathscr{S}$. γ) Trên mọi tập hợp M ∈ $\mathscr{S}$, tôpô cảm sinh bởi tôpô $\mathscr{T}$ đồng nhất với tôpô cảm sinh bởi σ(F, G). δ) Trên mọi tập hợp N ∈ $\mathscr{T}$, tôpô cảm sinh bởi tôpô $\mathscr{S}$ đồng nhất với tôpô cảm sinh bởi σ(G, F). (Dùng mệnh đề 5 của III, p. 17 để chứng minh rằng α) suy ra δ) và bài tập 1 của II, p. 74 để chứng minh rằng δ) suy ra β).)