Exercice 6, § 1

a) Soit E un espace localement convexe séparé. Pour tout ultrafiltre $\mathscr{U}$ sur E, soit $\mathscr{U}'$ le filtre ayant pour base les enveloppes convexes des ensembles de $\mathscr{U}$. Montrer que, pour qu’un point de E soit limite de $\mathscr{U}$ pour la topologie affaiblie, il faut et il suffit qu’il soit adhérent à $\mathscr{U}'$ pour la topologie initiale (utiliser l’exerc. 11 de II, p. 89). b) Soient E un espace vectoriel, A une partie convexe de E, $\mathscr{T}_1, \mathscr{T}_2$ deux topologies localement convexes séparées sur E, $\mathscr{T}_1', \mathscr{T}_2'$ les topologies affaiblies correspondantes. Montrer que si la topologie induite sur A par $\mathscr{T}_1$ est plus fine que la topologie induite par $\mathscr{T}_2$, alors la topologie induite sur A par $\mathscr{T}_1'$ est plus fine que la topologie induite sur A par $\mathscr{T}_2'$.