Bài tập 6, § 1

(a) Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff. Với mọi siêu lọc $\mathscr{U}$ trên E, gọi $\mathscr{U}'$ là lọc mà các bao lồi của các tập thuộc $\mathscr{U}$ tạo thành một cơ sở. Chứng minh rằng, để một điểm của E là giới hạn của $\mathscr{U}$ đối với tôpô yếu hơn, điều kiện cần và đủ là nó là một điểm giới hạn của $\mathscr{U}'$ đối với tôpô ban đầu (dùng Bài tập 11 của II, p. 84). (b) Cho A là một tập con lồi của một không gian vectơ E và cho $\mathscr{T}_1', \mathscr{T}_2'$ là hai tôpô lồi địa phương Hausdorff trên E, và $\mathscr{T}_1', \mathscr{T}_2'$ là các tôpô yếu hơn tương ứng. Chứng minh rằng nếu tôpô cảm sinh trên A bởi $\mathscr{T}_1'$ mịn hơn tôpô cảm sinh bởi $\mathscr{T}_2'$, thì tôpô cảm sinh trên A bởi $\mathscr{T}_1'$ mịn hơn tôpô cảm sinh trên A bởi $\mathscr{T}_2'$.