Exercice 7, § 1

Soient F l’espace somme directe $\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}$, G l’espace $\ell^1(\mathbf{N})$ (I, p. 4, Exemple) ; F et G sont mis en dualité par la forme bilinéaire

pour $x = (\xi_n) \in F$ et $y = (\eta_n) \in G$. a) Montrer que, dans F, tout ensemble K convexe et compact pour $\sigma(F, G)$ est de dimension finie. (Supposant le contraire, soient $(n_k)$ une suite strictement croissante d’entiers $> 0$, et $(a_k)$ une suite de points de K telle que les composantes de $a_k$ d’indice $> n_k$ soient nulles, mais que celle d’indice $n_k$ soit $\neq 0$. Montrer qu’il existe une suite $(t_k)$ de nombres $> 0$ telle que $\sum_k t_k < + \infty$ et que, dans l’espace de Banach $\mathscr{B}(\mathbf{N})$ des suites bornées de nombres réels, le point $\sum_k t_k a_k$ ait ses composantes d’indice $n_i$ non nulles pour tout $i$; en déduire que la suite des sommes partielles $s_p = \sum_{k=1}^p t_k a_k$ ne peut avoir de valeur d’adhérence dans F pour $\sigma(F, G)$.

b) Montrer qu’il existe dans F des ensembles compacts pour σ(F, G) et de dimension infinie (remarquer que G est le dual de F pour la topologie induite sur F par la topologie d’espace normé de $\mathscr{B}(N)$). Montrer qu’il existe aussi dans F des ensembles précompacts pour σ(F, G) et non relativement compacts. c) Déduire de a) et b) que l’on a τ(G, F) = σ(G, F), mais que τ(G, F) est distincte de la topologie de la convergence uniforme dans les parties de F compactes pour σ(F, G).