Bài tập 7, § 1

Cho F là không gian tổng trực tiếp $\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}$, G là không gian $\ell^1(\mathbf{N})$ (I, p. 4, Ví dụ); F và G được đặt trong đối ngẫu bởi dạng song tuyến tính

với $x = (\xi_n) \in F$ và $y = (\eta_n) \in G$. a) Chứng minh rằng, trong F, mọi tập hợp K lồi và compact đối với σ(F, G) đều hữu hạn chiều. (Giả sử ngược lại; lấy $(n_k)$ là một dãy tăng ngặt các số nguyên > 0, và $(a_k)$ là một dãy các điểm của K sao cho các thành phần của $a_k$ có chỉ số > $n_k$ đều bằng không, nhưng thành phần có chỉ số $n_k$ là ≠ 0. Chứng minh rằng tồn tại một dãy $(t_k)$ các số > 0 sao cho $\sum_k t_k < + \infty$ và trong không gian Banach $\mathscr{B}(\mathbf{N})$ của mọi dãy bị chặn các số thực, điểm $\sum_k t_k a_k$ có các thành phần khác không với các chỉ số $n_i$, với mọi i; suy ra rằng dãy các tổng riêng phần $s_p = \sum_{k=1}^p t_k a_k$ không thể có một điểm giới hạn trong F đối với σ(F, G).) b) Chứng minh rằng trong F tồn tại các tập hợp compact đối với σ(F, G) là vô hạn chiều (nhận xét rằng G là đối ngẫu của F đối với tôpô cảm sinh bởi tôpô của không gian định chuẩn $\mathscr{B}(\mathbf{N})$). Chứng minh rằng tồn tại các tập hợp tiền compact trong F đối với σ(F, G) không tương đối compact.

c) Suy ra từ a) và b) rằng $\tau(G, F) = \sigma(G, F)$, nhưng $\tau(G, F)$ phân biệt với tôpô hội tụ đều trên các tập hợp con của F là compact đối với $\sigma(F, G)$.