Exercice 23, § 2

Les notations étant celles de l'exerc. 22, on suppose M' irréductible.

a) Pour que l'application canonique de E dans E''/M'', restriction de l'application canonique E'' → E''/M'', soit une isométrie d'espaces de Banach, il faut et il suffit que la caractéristique (IV, p. 56, exerc. 21) de M' soit égale à 1. On dit alors que M', muni de la norme induite par celle de E', est un préDual de E, et E s'identifie canoniquement (avec sa norme) au dual de l'espace de Banach M'.

b) Pour tout sous-espace vectoriel F de E, fermé pour σ(E, M'), montrer que l'image canonique de M' dans le dual F' de F, identifié à E'/F°, est un préDual de F.