Exercice 11, § 3

Soit $(c_{mn})$ une suite double de nombres $> 0$ telle que $c_{m,n} \leq c_{m+1,n}$ et soit $E$ l’espace des suites $x = (x_n)$ de nombres réels tels que l’on ait $p_m(x) = \sum_n c_{mn}|x_n| < + \infty$ pour tout entier $m$. On munit $E$ de la topologie définie par les semi-normes $p_m$, pour laquelle $E$ est un espace de Fréchet de type dénombrable ; le dual $E'$ de $E$ est identifié à l’espace des suites $x' = (x'_n)$ telles que $\sup_n c_{mn}^{-1}|x'_n| < + \infty$ pour un $m$ au moins, la forme bilinéaire canonique $\langle x, x' \rangle$ étant identifiée à $\sum_n x_n x'_n$ (IV, p. 47, exerc. 1, c)). On suppose qu’il n’existe aucune suite partielle $(n_k)$ telle qu’il y ait une suite $(a_m)$ de nombres $\geq 0$ et un indice $m_0$ pour lesquels on ait $c_{m,n_k} \leq a_m c_{m_0,n_k}$ quels que soient $m \geq m_0$ et $k$. Dans ces conditions, toute suite faiblement convergente dans $E'$ est fortement convergente, et par suite (IV, p. 60, exerc. 10) $E$ est un espace de Montel. (Raisonner par l’absurde ; en faisant au besoin une transformation de la forme $(x_n) \mapsto (a_n x_n)$, se ramener au cas où $c_{m_0 n} = 1$ pour tout $n$ et un indice $m_0$, et où il existe une suite $(x^{(p)})_{p \geq 0}$ faiblement convergente vers 0 dans $E'$, telle que $|x^{(p)}_n| \leq 1$ pour tout couple $(p, n)$, et un ensemble borné $B$ dans $E$, défini par $p_m(x) \leq b_m$ pour tout $m \geq 0$, et tel que $\sup_{x \in B} |\langle x, x^{(p)} \rangle| \geq 2\delta > 0$ pour tout entier $p$. Déduire de ces hypothèses qu’il existe une suite strictement croissante $(r_q)$ d’entiers, et une suite $(x^{(q)})$ de points de $B$ tels que

pour chaque indice $q$. Montrer alors, en raisonnant par l’absurde, que pour tout $q$, il existe au moins un indice $s_q$ tel que $r_q < s_q \leq r_{q+1}$ et que pour tout entier $m$, on ait $c_{m,s_q} \leq b_m 2^{m+2}/\delta$, résultat contraire à l’hypothèse.)